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(1)已知f(x)=2+log4x(1≤x≤16),求函数g(x)=[f(x)]2+f(x2)的值域.
(2)若直线y=4a与y=|ax-2|(a>0且a≠1)的图象有两个公共点,求a的取值范围.
分析:(1)先求出函数y=[f(x)]2+f(x2)的定义域,然后将函数化成关于log4x的二次函数,进行配方找出对称轴,而0≤log4x≤2,利用对称轴与区间的位置关系求出最值,即可求出值域.
(2)分别作出直线y=4a与y=|ax-2|(a>0且a≠1)的图象,如图所示,由数形结合易得结果.
解答:解:(1)由已知得:
g(x)=(2+log4x)2+(2+log4x2)
=lo
g
2
4
x+6log4x+6

1≤x≤16
1≤x2≤16
⇒1≤x≤4,
令log4x=t,则g(x)=h(t)=t2+6t+6(0≤t≤1)
∵h(t)在[0,1]上为增函数,
∴h(t)min=h(0)=6,h(t)max=h(1)=13,
∴g(x)的值域为[6,13].
(2)直线y=4a与y=|ax-2|(a>0且a≠1)的图象,如图所示,
直线y=4a与y=|ax-2|(a>0且a≠1)的图象有两个公共点,
由数形结合易得:0<a<
1
2
点评:主要考查了带绝对值的函数、函数的值域.本题以对数函数为载体考查二次函数的值域,属于求二次函数的最值问题,解题的关键是定义域,属于基本题.
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

已知f(x)的定义域为x∈R且x≠1,已知f(x+1)为奇函数,当x<1时,f(x)=2x2-x+1,那么,当x>1时,f(x)的递减区间是(  )
A、[
5
4
,+∞)
B、[1,
5
4
]
C、[
7
4
,+∞)
D、(1,
7
4
]

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科目:高中数学 来源: 题型:

(1)已知f(x)是一次函数,且满足3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17,求f(x);
(2)已知f(x)满足2f(x)+f(
1x
)=3x,求f(x).

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科目:高中数学 来源: 题型:

给出下列四个命题:
①已知f(x)+2f(
1
x
)=3x
,则函数g(x)=f(2x)在(0,1)上有唯一零点;
②对于函数f(x)=x
1
2
的定义域中任意的x1、x2(x1≠x2)必有f(
x1+x2
2
)<
f(x1)+f(x2)
2

③已知f(x)=|2-x+1-1|,a<b,f(a)<f(b),则必有0<f(b)<1;
④已知f(x)、g(x)是定义在R上的两个函数,对任意x、y∈R满足关系式f(x+y)+f(x-y)=2f(x)•g(y),且f(0)=0,但x≠0时f(x)•g(x)≠0.则函数f(x)、g(x)都是奇函数.
其中正确命题的序号是
①③
①③

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知函数f(x)=aln(1+ex)-(a+1)x.
(1)已知f(x)满足下面两个条件,求a的取值范围.
①在(-∞,1]上存在极值,
②对于任意的θ∈R,c∈R直线l:xsinθ+2y+c=0都不是函数y=f(x)(x∈(-1,+∞))图象的切线;
(2)若点A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2)),C(x3,f(x3))从左到右依次是函数y=f(x)图象上三点,且2x2=x1+x3,当a>0时,△ABC能否是等腰三角形?若能,求△ABC面积的最大值;若不能,请说明理由.

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