Question

【题目】如图，在四棱锥A﹣BCFE中，四边形EFCB为梯形，EF∥BC，且EF= BC，△ABC是边长为2的正三角形，顶点F在AC上的射影为点G，且FG= ，CF= ，BF= ．
（1）证明：平面FGB⊥平面ABC；
（2）求二面角E﹣AB﹣F的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）证明：由顶点F在AC上投影为点G，可知，FG⊥AC．

取AC的中点为O，连结OB，GB．

在Rt△FGC中， ， ，所以 ．

在Rt△GBO中， ， ，所以 ．

所以，BG2+GF2=FB2，即FG⊥BG．

∵FG⊥AC，FG⊥GB，AC∩BG=G

∴FG⊥面ABC．

又FG面FGB，所以面FGB⊥面ABC

（2）解：由（Ⅰ）知，OB⊥FG，OB⊥AC，且AC∩FG=G

所以 OB⊥面AFC，且FG⊥面ABC．以OB所在直线为x轴，OC所在直线为y轴，

过点O作平面ABC的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示：

， ，

， =（0，﹣ ， ）， =（﹣ ），

设平面ABE，ABF的法向量分别为 ， ，

则 ，即 ，取x=1，得 =（1，﹣ ，﹣ ），

，即 ，取a=1，得 ，

设二面角E﹣AB﹣F的平面角为θ．

则cosθ= = = ．

所以二面角E﹣AB﹣F的余弦值为 ．

【解析】（1）推导出FG⊥AC，取AC的中点为O，连结OB，GB，推导出FG⊥BG，FG⊥AC，从而FG⊥面ABC，由此能证明面FGB⊥面ABC．（2）以OB所在直线为x轴，OC所在直线为y轴，过点O作平面ABC的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角E﹣AB﹣F的余弦值．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用平面与平面垂直的判定的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．