【题目】如图,梯形
中,
,过
分别作
,
,垂足分别
,
,已知
,将梯形
沿
同侧折起,得空间几何体
,如图
.
1
若
,证明:
平面
;
2
若
,
,线段
上存在一点
,满足
与平面
所成角的正弦值为
,求
的长.
【答案】(1)证明见解析;(2) .
【解析】
1
由正方形的性质推导出
,结合
,可得
平面
,由此
,再由
,能证明
平面
;
2
过
作
交
于点
,以
为坐标原点,以
分别为
轴,
轴,
轴的正方向建立空间直角坐标系,设
,可得
,利用向量垂直数量积为零求出平面
的法向量,利用空间向量夹角余弦公式能求出结果.
1
由已知得四边形ABFE是正方形,且边长为2,在图2中,
,
由已知得,
,
平面
又平面BDE,
,
又,
,
平面
2
在图2中,
,
,
,即
面DEFC,
在梯形DEFC中,过点D作交CF于点M,连接CE,
由题意得,
,由勾股定理可得
,则
,
,
过E作交DC于点G,可知GE,EA,EF两两垂直,
以E为坐标原点,以分别为x轴,y轴,z轴的正方向建立空间直角坐标系,
则,
.
设平面ACD的一个法向量为,
由得
,取
得
,
设,则
m,
,
,得
设CP与平面ACD所成的角为,
.
所以
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【题目】已知甲、乙两名工人在同样条件下每天各生产100件产品,且每生产1件正品可获利20元,生产1件次品损失30元,甲、乙两名工人100天中出现次品件数的情况如表所示.
甲每天生产的次品数/件 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
对应的天数/天 | 40 | 20 | 20 | 10 | 10 |
乙每天生产的次品数/件 | 0 | 1 | 2 | 3 |
对应的天数/天 | 30 | 25 | 25 | 20 |
(1)将甲每天生产的次品数记为(单位:件),日利润记为
(单位:元),写出
与
的函数关系式;
(2)按这100天统计的数据,分别求甲、乙两名工人的平均日利润.
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【题目】从5名男生和4名女生中选出4人去参加座谈会,问:
(1)如果4人中男生和女生各选2人,有多少种选法?
(2)如果男生中的甲与女生中的乙至少要有1人在内,有多少种选法?
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【题目】已知函数f(x)=,下列结论中错误的是
A.
, f(
)=0
B. 函数y=f(x)的图像是中心对称图形
C. 若是f(x)的极小值点,则f(x)在区间(-∞,
)单调递减
D. 若是f(x)的极值点,则
(
)=0
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【题目】我国是世界上严重缺水的国家,某市为了制定合理的节水方案,对居民用水情况进行调查,通过抽样,获得某年100为居民每人的月均用水量(单位:吨),将数据按照分成9组,制成了如图所示的频率分布直方图.
(1)求直方图的的值;
(2)设该市有30万居民,估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数,说明理由.
(3)估计居民月用水量的中位数.
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