Question

如图，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC⊥BC，AC=BC=CC₁=2，M，N分别为AC，B₁C₁的中点．
（Ⅰ）求线段MN的长；
（Ⅱ）求证：MN∥平面ABB₁A₁；
（Ⅲ）线段CC₁上是否存在点Q，使A₁B⊥平面MNQ？说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）连接CN，易证AC⊥平面BCC₁B₁．由勾股定理可得CN的值，进而可得MN的长；
（Ⅱ）取AB中点D，连接DM，DB₁，可得四边形MDB₁N为平行四边形，可得MN∥DB₁，由线面平行的判定定理可得MN∥平面ABB₁A₁；（Ⅲ）当Q为CC₁中点时，有A₁B⊥平面MNQ． 连接BC₁，易证QN⊥BC₁．可得A₁B⊥QN，A₁B⊥MQ，由线面垂直的判定可得．

解答：解：（Ⅰ）连接CN，因为ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱，
所以CC₁⊥平面ABC，所以AC⊥CC₁，…（2分）
因为AC⊥BC，所以AC⊥平面BCC₁B₁．               …（3分）
因为MC=1，CN=

CC12+C1N2

=

5

，
所以MN=

6

    …（4分）
（Ⅱ）证明：取AB中点D，连接DM，DB₁                      …（5分）
在△ABC中，因为M为AC中点，所以DM∥BC，DM=

1

2

BC．
在矩形B₁BCC₁中，因为N为B₁C₁中点，所以B₁N∥BC，B₁N=

1

2

BC．
所以DM∥B₁N，DM=B₁N．所以四边形MDB₁N为平行四边形，所以MN∥DB₁．        …（7分）
因为MN?平面ABB₁A₁，DB₁?平面ABB₁A₁…（8分）
所以MN∥平面ABB₁A₁．                                  …（9分）
（Ⅲ）解：线段CC₁上存在点Q，且Q为CC₁中点时，有A₁B⊥平面MNQ． …（11分）
证明如下：连接BC₁，
在正方形BB₁C₁C中易证QN⊥BC₁．
又A₁C₁⊥平面BB₁C₁C，所以A₁C₁⊥QN，从而NQ⊥平面A₁BC₁．…（12分）
所以A₁B⊥QN．                                         …（13分）
同理可得A₁B⊥MQ，所以A₁B⊥平面MNQ．
故线段CC₁上存在点Q，使得A₁B⊥平面MNQ．             …（14分）

点评：本题考查直线与平面平行于垂直的判定，熟练掌握判定定理是解决问题的关键，属中档题．