Question

6．已知F₁，F₂是双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的两个焦点，PQ是过F₂且垂直于双曲线实轴的一条弦，若∠PF₁Q=60°，则双曲线有一条渐近线的倾斜角α的余弦值是（　　）

• A． $\sqrt{2}$-1
• B． $\sqrt{3}$-1
• C． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• D． $\frac{\sqrt{3}}{3}$

Answer 1

分析 根据题意，△PQF₁是等腰直角三角形，且被F₁F₂分成两个全等的直角三角形．由此结合双曲线的定义，可解出a、c关系，再求出a，b的关系，
根据双曲线有一条渐近线的倾斜角α的正切值$\frac{b}{a}$=tanα，即可求出答案．

解答 解：根据双曲线的对称性得|PF₁|=|QF₁|
∵△PQF₁中，∠PF₁Q=60°，
∴△PQF₁是一个角为30°的直角三角形，因此，Rt△PF₁F₂中，|F₁F₂|=$\sqrt{3}$|PF₂|=2c，|PF₂|=$\frac{{b}^{2}}{a}$，
|F₁F₂|=2c，∴2c=$\sqrt{3}$•$\frac{{b}^{2}}{a}$=$\sqrt{3}$$\frac{{c}^{2}-{a}^{2}}{a}$，
由此可得，$\sqrt{3}$e²-2e-$\sqrt{3}$=0，
双曲线的离心率e=$\sqrt{3}$，即$\frac{c}{a}$=$\sqrt{3}$，c²=3a2，
∴b²=c²-a²=2a²，∴b=$\sqrt{2}$a，
∴双曲线有一条渐近线的倾斜角α的正切值，tanα=$\frac{b}{a}$=$\sqrt{2}$，
∴sinα=$\sqrt{2}$cosα，
∵sin²α+cos²α=1，
∴cos²α=$\frac{1}{3}$，
∴cosα=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
故选：D．

点评 本题考查的知识要点：等边三角形的边角关系，双曲线的离心率，渐近线方程及相关的运算问题．