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定义在R上的函数f(x),如果存在函数g(x)=kx+b(k,b为常数),使得f(x)≥g(x)对一切实数x都成立,则称g(x)为f(x)的一个承托函数.现有如下命题:
①对给定的函数f(x),其承托函数可能不存在,也可能无数个;
②g(x)=2x为函数f(x)=2x的一个承托函数;
③若函数g(x)=x-a为函数f(x)=ax2的承托函数,则a的取值范围是a≥
12

④定义域和值域都是R的函数f(x)不存在承托函数;
其中正确命题的序号是
①③
①③
分析:对于①,若取f(x)=sinx,则g(x)=B(B<-1),都满足,且有无数个,正确;对于②,当x=
3
2
时,②错;对于③,由函数g(x)=x-a为函数f(x)=ax2的承托函数,知ax2≥x-a对一切实数x都成立,由此能求出a的范围.对于④,如取f(x)=2x+3,即可看出其不符合,故错.
解答:解:对于①,若f(x)=sinx,
则g(x)=B(B<-1),就是它的一个承托函数,且有无数个,
再如y=tanx,y=lgx就没有承托函数,故命题①正确;
对于②,∵当x=
3
2
时,g(
3
2
)=3,f(
3
2
)=2
2
=
8

∴f(x)<g(x),
∴g(x)=2x不是f(x)=2x的一个承托函数,故错误;
对于③,∵函数g(x)=x-a为函数f(x)=ax2的承托函数,
∴ax2≥x-a对一切实数x都成立,
a>0
△=1-4a2≤0

解得a
1
2
.故正确;
对于④,如f(x)=2x+3存在一个承托函数y=2x+1,故错误;
故答案为:①③.
点评:本题是以抽象函数为依托,考查学生的阅读的能力,没有具体的表达式,但是有一定的对应法则,满足一定的性质,这种对应法则及函数的相应的性质是解决问题的关键.
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2
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2
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3
2
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