Question

（2012•湖北模拟）已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)上有一个顶点到两个焦点之间的距离分别为3+2

2

，3-2

2

．
（1）求椭圆的方程；
（2）如果直线x=t（t∈R）与椭圆相交于A，B，若C（-3，0），D（3，0），证明直线CA与直线BD的交点K必在一条确定的双曲线上；
（3）过点Q（1，0）作直线l（与x轴不垂直）与椭圆交于M、N两点，与y轴交于点R，若

RM

=λ

MQ

，

RN

=μ

NQ

，证明：λ+μ为定值．

Answer 1

分析：（1）根据椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)上有一个顶点到两个焦点之间的距离分别为3+2

2

，3-2

2

，建立方程，结合b²=a²-c²，即可求得椭圆方程；
（2）设出A（t，y₀），B（t，-y₀），K（x，y），利用A在椭圆上有

t2

9

+y02=1，求出CA，DB的方程，相乘，即可得到结论；
（3）设直线l的方程为y=k（x-1），与椭圆方程联立，利用韦达定理及

RM

=λ

MQ

，

RN

=μ

NQ

，求出λ，μ的值，即可得出结论．

解答：解：（1）由已知得

a+c=3+2 2 a-c=3-2 2

，解得

a=3 c=2 2

∴b²=a²-c²=1…（3分）
∴椭圆方程为

x2

9

+y2=1．…（5分）
（2）依题意可设A（t，y₀），B（t，-y₀），K（x，y），且有

t2

9

+y02=1
又CA：y=

y0

t+3

(x+3)，DB：y=

-y0

t-3

(x-3)，
∴y2=

- y 2 0

t2-9

(x2-9)，
将

t2

9

+y02=1代入即得y2=

1

9

(x2-9)，

x2

9

-y2=1
所以直线CA与直线BD的交点K必在双曲线

x2

9

-y2=1上．…（10分）
（3）依题意，直线l的斜率存在，故可设直线l的方程为y=k（x-1），…（11分）
设M（x₃，y₃）、N（x₄，y₄）、R（0，y₅），则M、N两点坐标满足方程组

y=k(x-1)  x2 9 +y2=1 .

消去y并整理，得（1+9k²）x²-18k²x+9k²-9=0，
所以x3+x4=

18k2

1+9k2

，①x3x4=

9k2-9

1+9k2

，②…（13分）
因为

RM

=λ

MQ

，所以（x₃，y₃）-（0，y₅）=λ[（1，0）-（x₃，y₃）]，
即

x3=λ(1-x3)  y3-y5=-λy3 .

，所以x₃=λ（1-x₃），
又l与x轴不垂直，所以x₃≠1，
所以λ=

x3

1-x3

，同理μ=

x4

1-x4

．        …（14分）
所以λ+μ=

x3

1-x3

+

x4

1-x4

=

(x3+x4)-2x3x4

1-(x3+x4)+x3x4

．
将①②代入上式可得λ+μ=-

9

4

．      …（16分）

点评：本题考查椭圆的标准方程，考查方程与曲线的关系，考查直线与椭圆的位置关系，联立方程组，利用韦达定理是关键．