精英家教网 > 高中数学 > 题目详情

设f（x）是定义在区间D上的函数，若对任何实数α∈（0，1）以及D中的任意两个实数x₁，x₂，恒有f（αx₁+（1-α）x₂）≤αf（x₁）+（1-α）f（x₂），则称f（x）为定义在D上的C函数．
（Ⅰ）试判断函数 $数学公式$ 是否为各自定义域上的C函数，并说明理由；
（Ⅱ）已知f（x）是R上的C函数，m是给定的正整数，设a_n=f_n，n=0，1，2，…，m，且a₀=0，a_m=2m．记S_f=a₁+a₂+…+a_m对于满足条件的任意函数f（x），试求S_f的最大值；
（Ⅲ）若g（x）是定义域为R的函数，且最小正周期为T，试证明g（x）不是R上的C函数．

解：（Ⅰ）：f₁（x）=x²是C函数，证明如下：
对任意实数x₁，x₂及α∈（0，1），
有f（αx₁+（1-α）x₂）-αf（x₁）-（1-α）f（x₂）=（αx₁+（1-α）x₂）²-αx₁²-（1-α）x₂²=-α（1-α）x₁²-α（1-α）x₂²+2α（1-α）x₁x₂=-α（1-α）（x₁-x₂）²≤0．
即f（αx₁+（1-α）x₂）≤αf（x₁）+（1-α）f（x₂）．
∴f₁（x）=x²是C函数．
$\text{[math]}$ 不是C函数，证明如下：
取x₁=-3，x₂=-1， $\text{[math]}$ ，
则f（αx₁+（1-α）x₂）-αf（x₁）-（1-α）f（x₂）= $\text{[math]}$ ．
即f（αx₁+（1-α）x₂）＞αf（x₁）+（1-α）f（x₂）．
∴ $\text{[math]}$ 不是C函数．
（Ⅱ）对任意0≤n≤m，取x₁=m，x₂=0， $\text{[math]}$ ．
∵f（x）是R上的下凸函数，a_n=f（n），且a₀=0，a_m=2m
∴a_n=f（n）=f（αx₁+（1-α）x₂）≤αf（x₁）+（1-α）f（x₂）= $\text{[math]}$ ．
那么S_f=a₁+a₂+…+a_m≤2×（1+2+…+m）=m²+m．
可证f（x）=2x是C函数，且使得a_n=2n（n=0，1，2，…，m）都成立，此时S_f=m²+m．
综上所述，S_f的最大值为m²+m．
（Ⅲ）假设g（x）是R上的C函数．
若存在m＜n且m，n∈[0，T]使得g（m）≠g（n）．
若g（m）＜g（n），记 $\text{[math]}$ ，则0＜α＜1，且n=αx₁+（1-α）x₂
那么g（n）=g[αx₁+（1-α）x₂]≤αg（x₁）+（1-α）g（x₂）=g（m）
这与g（m）＜g（n）矛盾．
若g（m）＞g（n），
记 $\text{[math]}$ 也可得到矛盾．
∴g（x）在[0，T]上是常数函数，又因为g（x）是周期为T的函数，所以g（x）在R上是常数函数，这与g（x）的最小正周期为T矛盾．
所以g（x）不是R上的C函数．（14分）
分析：（Ⅰ）f₁（x）=x²是C函数，直接找f（αx₁+（1-α）x₂）-αf（x₁）-（1-α）f（x₂），推出其小于等于0即可； $\text{[math]}$ 不是C函数，采用举反例的方法即可，x₁=-3，x₂=-1， $\text{[math]}$ ．
（Ⅱ）先根据定义求出a_n=f（n）的范围，再结合定义即可求出S_f的最大值即可．
（Ⅲ）假设g（x）是R上的C函数．若存在m＜n且m，n∈[0，T]使得g（m）≠g（n）．分g（m）＜g（n），g（m）＞g（n），利用反证法，可以证明g（x）不是R上的C函数．
点评：本题主要是在新定义下考查恒成立问题．恒成立问题一般有两种情况，一是f（x）＞a恒成立，只须比f（x）的最小值小即可，二是f（x）＜a恒成立，只须比f（x）的最大值大即可．

练习册系列答案

年级	高中课程	年级	初中课程
高一	高一免费课程推荐！	初一	初一免费课程推荐！
高二	高二免费课程推荐！	初二	初二免费课程推荐！
高三	高三免费课程推荐！	初三	初三免费课程推荐！
更多初中、高中辅导课程推荐,点击进入>>

相关习题

科目：高中数学 来源： 题型：

（2013•松江区一模）设f（x）是定义在R上的函数，对x∈R都有f（-x）=f（x），f（x）•f（x+2）=10，且当x∈[-2，0]时，f(x)=(

)x-1，若在区间（-2，6]内关于x的方程f（x）-log_a（x+2）=0（a＞1）恰有3个不同的实数根，则a的取值范围是（　　）

A．（1，2）

B．（2，+∞）

C．（1，

3	4

）

D．（

3	4

，2）

查看答案和解析>>

科目：高中数学 来源： 题型：

（2013•天河区三模）设f（x）是定义在区间（1，+∞）上的函数，其导函数为f'（x）．如果存在实数a和函数h（x），其中h（x）对任意的x∈（1，+∞）都有h（x）＞0，使得f'（x）=h（x）（x²-ax+1），则称函数f（x）具有性质P（a）．
（1）设函数f(x)=Inx+

b+2

x+1

(x＞1)，其中b为实数．
（i）求证：函数f（x）具有性质P（b）；
（ii）求函数f（x）的单调区间．
（2）已知函数g（x）具有性质P（2），给定x₁，x₂∈（1，+∞），x₁＜x₂，设m为实数，a=mx₁+（1-m）x₂，β=（1-m）x₁+mx₂，且a＞1，β＞1，若|g（a）-g（β）|＜|g（x₁）-g（x₂）|，求m取值范围．

查看答案和解析>>

科目：高中数学 来源： 题型：

（2013•顺义区二模）设定义在R上的函数f（x）是最小正周期为2π的偶函数，f′（x）是f（x）的导函数．当x∈[0，π]时，0＜f（x）＜1；当x∈（0，π）且x≠

时，(x-

)f′(x)＜0．则函数y=f（x）-cosx在[-3π，3π]上的零点个数为

．

查看答案和解析>>

科目：高中数学 来源： 题型：

（2013•奉贤区二模）设f（x）是定义在R上以2为周期的偶函数，已知x∈（0，1），f(x)=log

(1-x)，则函数f（x）在（1，2）上的解析式是

y=log

(x-1)