Question

函数f(x)=Asin(ωx-

π

6

)（A＞0，ω＞0）的最大值为2，其最小正周期为π．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）设α∈(0，

π

2

)，则f(

α

2

)=

2

，求cosα的值．

Answer 1

分析：（1）通过函数的最大值，求出A，函数的最小正周期求出ω，然后求出函数f（x）的解析式；
（2）根据α∈(0，

π

2

)，与f(

α

2

)=

2

，求出α-

π

6

的值，然后求出α的值，即可利用cosα通过两角和与差的余弦函数求出它的值．

解答：解：（1）由题意A=2，…（2分）
∵最小正周期T=π，∴ω=2…（4分）
故函数f（x）的解析式为f(x)=2sin(2x-

π

6

)…（5分）
（2）∵f(

α

2

)=2sin(2×

α

2

-

π

6

)=

2

，即sin(α-

π

6

)=

2

2

，…（6分）
∵0＜α＜

π

2

，∴-

π

6

＜α-

π

6

＜

π

3

，…（7分）
∴α-

π

6

=

π

4

，α=

π

6

+

π

4

，…（10分）
故cosα=cos(

π

6

+

π

4

)=cos

π

6

cos

π

4

-sin

π

6

sin

π

4

=

6 - 2

4

…（12分）
（或）∵0＜α＜

π

2

，∴-

π

6

＜α-

π

6

＜

π

3

，
∴cos(α-

π

6

)=

1-sin2(α- π 6 )

=

2

2

，…（9分）
故cosα=cos[(α-

π

6

)+

π

6

]=cos(α-

π

6

)cos

π

6

-sin(α-

π

6

)sin

π

6

=

6 - 2

4

…（12分）

点评：本题考查三角函数的解析式的求法，两角和与差的三角函数的应用，函数值的求法，考查计算能力．