Question

已知函数f（x）=

a

•（

b

-

a

），其中

a

=（cosωx，0），

b

=（

3

sinωx，1），且ω为正实数．
（1）求f（x）的最大值；
（2）对任意m∈R，函数y=f（x），x∈[m，m+π]的图象与直线y=

1

2

有且仅有一个交点，求ω的值，并求满足f（x）=

3 -1

2

，x∈[

π

12

，

7π

12

]的x的值．

Answer 1

分析：（1）由函数f（x）=

a

•（

b

-

a

），其中

a

=（cosωx，0），

b

=（

3

sinωx，1），求出函数的解析式，进而根据正弦型函数的图象和性质，可得函数的最大值；
（2）根据函数y=f（x），x∈[m，m+π]的图象与直线y=

1

2

有且仅有一个交点，可得函数的周期为π，进而构造三角方程，求出x的值．

解答：解：（1）∵

a

=（cosωx，0），

b

=（

3

sinωx，1），
∴f（x）=

a

•（

b

-

a

）=（cosωx，0）•（

3

sinωx-cosωx，1）=

3

sinωx•cosωx-cosωx•cosωx
=

3

2

sin（2ωx）-

1

2

cos（2ωx）-

1

2

=sin（2ωx-

π

6

）-

1

2

∵A=1，B=-

1

2

∴f（x）_max=

1

2

（2）∵T=π，ω为正实数．
∴ω=1
∴f（x）=sin（2x-

π

6

）-

1

2

=

3 -1

2

∴sin（2x-

π

6

）=

3

2

∵x∈[

π

12

，

7π

12

]
∴2x-

π

6

∈[0，π]
∴2x-

π

6

=

π

3

，或2x-

π

6

=

2π

3

∴x=

π

4

，或x=

5π

12

点评：本题考查的知识点是平面向量的数量积，正弦型函数的图象和性质，其中根据平面向量的数量积，求出函数的解析式是解答的关键．