Question

已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率，直线与以原点为圆心，以椭圆C的短半轴长为半径的圆相切．
（I）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设M是椭圆的上顶点，过点M分别作直线MA，MB交椭圆于A，B两点，设两直线的斜率分别为k₁，k₂，且k₁+k₂=4，证明：直线AB过定点N（，-l）．

Answer 1

【答案】分析：（I）由离心率为得，由直线l与圆相切得=b，再由b²+c²=a²即可解得a，b值；
（Ⅱ）要证明直线AB过定点N（，-l），可证．设MA：y=k₁x+1，代入椭圆方程消掉y得x的二次方程，由韦达定理可表示点A坐标，同理可得点B坐标，由向量共线的条件可证；
解答：解：（I）由已知得：，解得，
故椭圆方程为：；
（Ⅱ）由（I）知M（0，1），设MA：y=k₁x+1，
由得：，
则，所以，
所以A（-，），同理可得B（-，），
所以=（，），，
所以•-===0，
故，所以A、B、N三点共线，即直线AB过定点N（-，-1）．
点评：本题考查椭圆方程、直线方程及其位置关系，考查向量在解析几何中的应用，考查学生对问题的分析转化能力，考查转化思想．