Question

已知函数g(x)=

1-x2

1+x2

(x≠0，x≠±1，x∈R)的值域为A，定义在A上的函数f（x）=x^-2-x²（x∈A）．
（1）判断函数f（x）的奇偶性；
（2）判断函数f（x）的单调性并用定义证明；
（3）解不等式f（3x+1）＞f（5x+1）．

Answer 1

分析：（1）化简函数f（x），考察函数的定义域再利用函数的奇偶性的定义直接求解即可；
（2）任取设x₁＜x₂我们构造出f（x₁）-f（x₂）的表达式，根据实数的性质，我们易出f（x₁）-f（x₂）的符号，进而根据函数单调性的定义，得到答案；
（3）由（1）知f（x）是偶函数，所以f（x）=f（|x|），从而原不等式化为f（|3x+1|）＞f（|5x+1|）再结合函数的单调性脱掉函数符号：“f”转化为绝对值不等式组求解即得．

解答：解：（1）由y=

1-x2

1+x2

得x2=

1-y

1+y

＞0，故-1＜y＜1，因此A=（-1，0）∪（0，1）．又
因为f（-x）=f（x），所以f（x）是偶函数；
（2）设x₁＜x₂，则f(x1)-f(x2)=

1

x 2 1

-

x

2 1

-

1

x 2 2

+

x

2 2

=(x2-x1)(x2+x1)(1+

1

x 2 1 x 2 2

)，
①如果x₁，x₂∈（-1，0），那么x₁+x₂＜0，故f（x₁）-f（x₂）＜0即f（x₁）＜f（x₂）；
②若x₁，x₂∈（0，1），则x₁+x₂＞0，故f（x₁）-f（x₂）＞0即f（x₁）＞f（x₂）．
因此f（x）在（-1，0）单增，在（0，1）单减；
（3）因为f（x）是偶函数，所以f（x）=f（|x|），从而原不等式化为f（|3x+1|）＞f（|5x+1|）．
故

|3x+1＜|5x+1 0＜|3x+1＜1 0＜|5x+1＜1

，即

(8x+2)•2x＞0 - 2 3 ＜x＜0且x≠- 1 3 - 2 5 ＜x＜ 0且x≠- 1 5

，
解得-

2

5

＜x＜-

1

3

或-

1

3

x＜-

1

4

，从而原不等式的解集为{x|-

2

5

＜x＜-

1

3

或-

1

3

x＜-

1

4

}．

点评：本小题主要考查函数单调性的应用、函数奇偶性的应用、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于中档题．