Question

函数的导数为0的点称为函数的驻点，若点（1，1）为函数f（x）的驻点，则称f（x）具有“1-1驻点性”．
（1）设函数f（x）=-x+2

x

+alnx，其中a≠0．
①求证：函数f（x）不具有“1-1驻点性”
②求函数f（x）的单调区间
（2）已知函数g（x）=bx³+3x²+cx+2具有“1-1驻点性”，给定x₁，x₂∈R，x₁＜x₂，设λ为实数，且λ≠-1，α=

x1+λx2

1+λ

，β=

x2+λx1

1+λ

，若|g（α）-g（β）|＞|g（x₁）-g（x₂）|，求λ的取值范围．

Answer 1

分析：（1）①对函数f（x）=-x+2

x

+alnx求导，验证f′（1）≠0即可说明函数f（x）不具有“1-1驻点性”；②根据导数的符号和函数单调性的关系，即f′（x）＞0时不等式解集就是函数的单调递增区间，f′（x）＜0时不等式解集就是函数的单调递减区间，注意对参数a的讨论；
（2）由题设知，函数g（x）得导数g′（x）=g′（x）=3bx²+6x+c，根据g（x）具有“1-1驻点性，求出b，c的值，从而g（x）在R上单调递减，分①λ≥0②-1＜λ＜0③λ＜-1三种情况讨论求解λ得范围即可

解答：解：（1）①f′（x）=-1+

1

x

+

a

x

∵f′（1）=-1+1+a≠0，
∴函数f（x）不具有“1-1驻点性”．
②由f′（x）=

-x+ x +a

x

=

-( x - 1 2 ) 2+a+  1 4

x

（ⅰ）当a+

1

4

＜0，即a＜-

1

4

时，f′（x）＜0．∴f（x）是（0，+∞）上的减函数；
（ⅱ）当a+

1

4

=0，即a=-

1

4

时，显然f′（x）≤0．∴f（x）是（0，+∞）上的减函数
（ⅲ）当a+

1

4

＞0，即a＞-

1

4

时，由f′（x）=0得

x

=

1

2

±

a+ 1 4

当-

1

4

＜a＜0时，

1

2

-

a+ 1 4

＞0
∴x∈（0，a+

1

2

-

a+ 1 4

）时，f′（x）＜0；
x∈（ a+

1

2

-

a+ 1 4

，a+

1

2

+

a+ 1 4

）时，f′（x）＞0； x∈（a+

1

2

+

a+ 1 4

，+∞）时，f′（x）＜0；
当a＞0时，

1

2

-

a+ 1 4

＜0
∴x∈（0，a+

1

2

+

a+ 1 4

）时，f′（x）＞0； x∈（ a+

1

2

+

a+ 1 4

，+∞）时，f′（x）＜0；
综上所述：当a≤-

1

4

时，函数f（x）的单调递减区间为（0，+∞）；
当-

1

4

＜a＜0时，函数f（x）的单调递减区间为（0，a+

1

2

-

a+ 1 4

）和（ a+

1

2

+

a+ 1 4

，+∞），
函数f（x）的单调递增区间为（ a+

1

2

-

a+ 1 4

，a+

1

2

+

a+ 1 4

）；
当a＞0时，函数f（x）的单调递增区间为（0，a+

1

2

+

a+ 1 4

），
函数f（x）的单调递减区间为（ a+

1

2

+

a+ 1 4

，+∞）
（Ⅱ）由题设得：g′（x）=3bx²+6x+c，
∵g（x）具有“1-1驻点性”∴g（1）=1且g′（1）=0
即

b+3+c+2=1 3b+6+c=0

解得

b=-1 c=-3

∴g′（x）=-3x²+6x-3=-3（x-1）²≤0，故g（x）在定义域R上单调递减．
①当λ≥0时，α=

x1+λx2

1+λ

≥

x1+λx1

1+λ

=x₁，α=

x1+λx2

1+λ

＜

x2+λx2

1+λ

=x₂，即α∈[x₁，x₂），同理β∈（x₁，x₂]
由g（x）的单调性可知：g（α），g（β）∈[g（x₂），g（x₁）]
∴|g（α）-g（β）|≤|g（x₁）-g（x₂）|与题设|g（α）-g（β）|＞|g（x₁）-g（x₂）|不符．
②当-1＜λ＜0时，α=

x1+λx2

1+λ

＜

x1+λx1

1+λ

=x₁，β=

x2+λx1

1+λ

＞

x2+λx2

1+λ

=x₂
即α＜x₁＜x₂＜β∴g（β）＜g（x₂）＜g（x₁）＜g（α）
∴|g（α）-g（β）|＞|g（x₁）-g（x₂）|，符合题设
③当λ＜-1时，α=

x1+λx2

1+λ

＞

x2+λx2

1+λ

=x₂，β=

x2+λx1

1+λ

＜

x1+λx1

1+λ

=x₁，即β＜x₁＜x₂＜α
∴g（α）＜g（x₂）＜g（x₁）＜g（β）
∴|g（α）-g（β）|＞|g（x₁）-g（x₂）|也符合题设
由此，综合①②③得所求的λ的取值范围是λ＜0且λ≠-1

点评：本题主要考查函数的概念、性质、图象及导数等基础知识，考查灵活运用数形结合、分类讨论的思想方法进行探索、分析与解决问题的综合能力，属难题．