【题目】如图,三棱柱中,侧面是菱形,其对角线的交点为,且.
(1)求证:平面;
(2)设,若直线与平面所成的角为,求二面角的正弦值.
【答案】(1)见解析;(2).
【解析】
(1)根据菱形的特征和题中条件得到平面,结合线面垂直的定义和判定定理即可证明;
2建立空间直角坐标系,利用向量知识求解即可.
(1)证明:∵四边形是菱形,
,
平面
平面,
又是的中点,
,
又
平面
(2)
∴直线与平面所成的角等于直线与平面所成的角.
平面,
∴直线与平面所成的角为,即.
因为,则在等腰直角三角形中,
所以.
在中,由得,
以为原点,分别以为轴建立空间直角坐标系.
则
所以
设平面的一个法向量为,
则,可得,
取平面的一个法向量为,
则,
所以二面角的正弦值的大小为.
(注:问题(2)可以转化为求二面角的正弦值,求出后,在中,过点作的垂线,垂足为,连接,则就是所求二面角平面角的补角,先求出,再求出,最后在中求出.)
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【题目】自2017年起,部分省、市陆续实施了新高考,某省采用了“”的选科模式,即:考试除必考的语、数、外三科外,再从物理、化学、生物、历史、地理、政治六个学科中,任意选取三科参加高考,为了调查新高考中考生的选科情况,某地区调查小组进行了一次调查,研究考生选择化学与选择物理是否有关.已知在调查数据中,选物理的考生与不选物理的考生人数相同,其中选物理且选化学的人数占选物理人数的,在不选物理的考生中,选化学与不选化学的人数比为.
(1)若在此次调查中,选物理未选化学的考生有100人,试完成下面的列联表:
选化学 | 不选化学 | 合计(人数) | |
选物理 | |||
不选物理 | |||
合计(人数) |
(2)根据第(1)问的数据,能否有99%把握认为选择化学与选择物理有关?
(3)若研究得到在犯错误概率不超过0.01的前提下,认为选化学与选物理有关,则选物理又选化学的人数至少有多少?(单位:千人;精确到0.001)
附:.
0.050 | 0.010 | 0.001 | |
3.841 | 6.635 | 10.828 |
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【题目】如图,有一种游戏画板,要求参与者用六种颜色给画板涂色,这六种颜色分别为红色、黄色1、黄色2、黄色3、金色1、金色2,其中黄色1、黄色2、黄色3是三种不同的颜色,金色1、金色2是两种不同的颜色,要求红色不在两端,黄色1、黄色2、黄色3有且仅有两种相邻,则不同的涂色方案有( )
A.120种B.240种C.144种D.288种
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【题目】已知椭圆左右焦点分别为,,
若椭圆上的点到,的距离之和为,求椭圆的方程和焦点的坐标;
若、是关于对称的两点,是上任意一点,直线,的斜率都存在,记为,,求证:与之积为定值.
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【题目】已知椭圆的右焦点为,过点且与轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为,且与短轴两端点的连线相互垂直.
(1)求椭圆的方程;
(2)若圆上存在两点,,椭圆上存在两个点满足:三点共线,三点共线,且,求四边形面积的取值范围.
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【题目】为迎接“五一”节的到来,某单位举行“庆五一,展风采”的活动.现有6人参加其中的一个节目,该节目由两个环节可供参加者选择,为增加趣味性,该单位用电脑制作了一个选择方案:按下电脑键盘“Enter”键则会出现模拟抛两枚质地均匀骰子的画面,若干秒后在屏幕上出现两个点数和,并在屏幕的下方计算出的值.现规定:每个人去按“Enter”键,当显示出来的小于时则参加环节,否则参加环节.
(1)求这6人中恰有2人参加该节目环节的概率;
(2)用分别表示这6个人中去参加该节目两个环节的人数,记,求随机变量的分布列与数学期望.
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【题目】青岛二中学生民议会在周五下午高峰时段,对公交路甲站和线乙站各随机抽取了位乘客,统计其乘车等待时间(指乘客从等车到乘上车的时间,乘车等待时间不超过分钟).将统计数据按,,,…,分组,制成频率分布直方图:
假设乘客乘车等待时间相互独立.
(1)此时段,从甲站的乘客中随机抽取人,记为事件;从乙站的乘客中随机抽取人,记为事件.若用频率估计概率,求“两人乘车等待时间都小于分钟”的概率;
(2)此时段,从乙站的乘客中随机抽取人(不重复抽取),抽得在的人数为,求随机变量的分布列与数学期望.
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