Question

已知点B（0，1），点C（0，—3），直线PB、PC都是圆的切线（P点不在y轴上）.

（I）求过点P且焦点在x轴上抛物线的标准方程；

（II）过点（1，0）作直线与（I）中的抛物线相交于M、N两点，问是否存在定点R，使为常数？若存在，求出点R的坐标与常数；若不存在，请说明理由。

 

Answer 1

【答案】

（I）     （II）存在定点R（0，0），相应的常数是 

【解析】

试题分析：（I）设直线PC的方程为：，

由所以PC的方程为  

由得P点的坐标为（3，1）。

可求得抛物线的标准方程为  

（II）设直线l的方程为，代入抛物线方程并整理得

   11分

当时上式是一个与m无关的常数

所以存在定点R（0，0），相应的常数是 

考点：直线与圆锥曲线的综合问题；平面向量数量积的运算；抛物线的标准方程．

点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．研究直线与圆锥曲线位置关系的问题，通常有两种方法：一是转化为研究方程组的解的问题，利用直线方程与圆锥曲线方程所组成的方程组消去一个变量后，将交点问题（包括公共点个数、与交点坐标有关的问题）转化为一元二次方程根的问题，结合根与系数的关系及判别式解决问题；二是运用数形结合的思想．