Question

已知函数f（x）=x|x-2a|，a∈R．
（1）当a=1时，解方程f（x）=0；
（2）当0＜a＜3时，求函数y=f（x）在区间[0，7]的最大值g（a）；
（3）若函数y=f（x）在区间（m，n）上既有最大值又有最小值，请分别求出m，n的取值范围．

Answer 1

分析：（1）当a=1时，由x|x-2|=0即可求得方程f（x）=0的解；
（2）因为0＜a＜3，对称轴x=a处于区间[0，7]的偏左部分，g（a）=f（7）=49-14a，由a²=7（7-2a），解得a=7（

2

-1），从而可得答案；
（3）当a=0时，f（x）=x|x|，可分析出f（x）在区间（m，n）既没有最大值也没有最小值；当a＞0时，由a²=x（x-2a）得x=（

2

+1）a，从而得0≤m＜a，2a＜n≤（

2

+1）a；当a＜0时，同理可得（

2

+1）a≤m＜2a，a＜n≤0．

解答：解：（1）当a=1时，x|x-2|=0，解得x=0或x=2；…（2分）
（2）当x＜2a时，f（x）=x（2a-x）=-（x-a）²+a²；
当x≥2a时，f（x）=x（x-2a）=（x-a）²-a²．
∵0＜a＜3，对称轴x=a处于区间[0，7]的偏左部分，
由a²=7（7-2a），解得a=7（

2

-1）…（6分）
∴g（a）=

f(7)，0＜a＜7( 2 -1) a2，7( 2 -1)≤a＜3

，
即g（a）=

49-14a，0＜a＜7( 2 -1) a2，7( 2 -1)≤a＜3

…（10分）
（3）当a=0时，f（x）=x|x|，
在区间（m，n）既没有最大值也没有最小值，不符合题意．     …（12分）
当a＞0时，由a²=x（x-2a）得x=（

2

+1）a，
所以0≤m＜a，2a＜n≤（

2

+1）a；                    …（14分）
当a＜0时，由-a²=x（2a-x）得x=（

2

+1）a，
所以（

2

+1）a≤m＜2a，a＜n≤0．…（16分）

点评：本题考查带绝对值的函数，突出考查分类讨论思想与方程思想、化归思想的综合应用，考查抽象思维与运算能力，属于难题．