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(2011•宝坻区一模)设椭圆C:
x2
a2
+
y2
5
=1
(a>0)的左右焦点分别为F1、F2,A是椭圆C上的一点,
AF2
F1F2
=0
,坐标原点O到直线AF1的距离为
1
3
|OF1|.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)设Q是椭圆C上的一点,过点Q的直线l交x轴于点F(-1,0),交y轴于点M,若|
MQ
|=2|
QF
|,求直线l的斜率.
分析:(Ⅰ)确定焦点坐标,求出A的坐标,可得AF1所在直线方程,求出坐标原点O到直线AF1的距离,利用坐标原点O到直线AF1的距离为
1
3
|OF1|,即可求椭圆C的方程;
(Ⅱ)设出直线l的方程,利用|
MQ
|=2|
QF
|,确定Q的坐标,代入椭圆方程,即可求得结论.
解答:解:(Ⅰ)由题设知F1(-
a2-2
,0)
F2(
a2-2
,0)

由于
AF2
F1F2
=0
,则有
AF2
F1F2
=0
,所以点A的坐标为(
a2-2
,±
2
a
)
  …(2分)
故AF1所在直线方程为y=±(
x
a
a2-2
+
1
a
)
   …(4分)
所以坐标原点O到直线AF1的距离为
a2-2
a2-1

又|OF1|=
a2-2
,所以
a2-2
a2-1
=
1
3
a2-2
,解得:a=2 …(6分)
∴所求椭圆的方程为
x2
4
+
y2
2
=1
   …(7分)
(Ⅱ)设直线l的方程为y=k(x+1),则有M(0,k)      …(8分)
设Q(x1,y1),由于Q、F、M三点共线,且|
MQ
|=2|
QF
|,
∴(x1,y1-k)=±2(x1+1,y1),解得
x1=-2
y1=-k
x1=-
2
3
y1=
k
3
  …(11分)
又Q在椭圆C上,故
(-2)2
4
+
(-k)2
2
=1
(-
2
3
)
2
4
+
(
k
3
)
2
2
=1
…(12分)
解得k=0或k=±4,所以所求直线l的斜率为0或±4       …(14分)
点评:本题考查椭圆的标准方程,考查向量知识的运用,考查学生的计算能力,属于中档题.
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