Question

（2005•东城区一模）已知O为坐标原点，点E、F的坐标分别为（-1，0）和（1，0）．动点P满足|

PE

|+|

PF

|=4．
（Ⅰ）求动点P的轨迹C的方程；
（Ⅱ）过E点做直线与C相交于M、N两点，且

ME

=2

EN

，求直线MN的方程．

Answer 1

分析：（1）由椭圆的定义可知，到两个定点距离之和等于定长的点的轨迹为椭圆，所以所求点P的轨迹C为椭圆，再分别求出椭圆中a，b的值即可．
（2）当斜率存在时，设出直线MN的点斜式方程，与（1）中所求椭圆方程联立，求出x1+x2，x1x2，再根据

.

ME

=2

.

EN

，
即可求出k，得到直线MN的方程．

解答：解：（1）∵|

.

PE

|+|

.

PF

|=4
由椭圆的第一定义可知点P的轨迹为椭圆，
且2a=4，c=1，∴a²=4，b²=3
∴所求的椭圆方程为

x2

4

+

y2

3

=1
（2）①当直线MN的斜率不存在时，不满足题意；
②当直线MN的斜率存在时，设其方程为y=k（x+1），
代入

x2

4

+

y2

3

=1化简得（3+4k²）x²+8k²x+4k²-12=0
设两交点的坐标为M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂）
则x1+x2=

-8k2

3+4k2

，x1x2=

4k2-12

3+4k2

∵

M

E=2

E

N，∴x₁+2x₂=-3
∴x2=-3+

8k2

3+4k2

=

-9-4k2

3+4k2

，x1=-3-2x2=

9-4k2

3+4k2

∴

-9-4k2

3+4k2

×

9-4k2

3+4k2

=

4k2-12

3+4k2

∴k2=

5

4

，即k=±

5

2

，满足△＞0
∴所求的直线MN的方程为y=±

5

2

(x+1)

点评：本题主要考查了定义法求轨迹方程，以及直线与椭圆位置关系的判断．