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18、平面内有n个圆,其中任何两个圆都有两个交点,任何三个圆都没有共同的交点,试证明这n个圆把平面分成了n2-n+2个区域.
分析:直接利用数学归纳法的证明方法,验证n=1时命题成立,然后假设n=k时命题成立,证明n=k+1时命题也成立即可.
解答:证明:(1)当n=1时,一个圆把平面分成两个区域,而12-1+2=2,命题成立.
(2)假设n=k(k≥1)时,命题成立,即k个圆把平面分成k2-k+2个区域.
当n=k+1时,第k+1个圆与原有的k个圆有2k个交点,这些交点把第k+1个圆分成了2k段弧,
而其中的每一段弧都把它所在的区域分成了两部分,因此增加了2k个区域,
共有k2-k+2+2k=(k+1)2-(k+1)+2个区域.
∴n=k+1时,命题也成立.
由(1)、(2)知,对任意的n∈N*,命题都成立.
点评:本题是基础题,考查数学归纳法的证明方法,注意n=k+1的证明过程,增加了2k个区域,这是证明的关键所在,两个步骤缺一不可.
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