Question

设事件A发生的概率为P，若在A发生的条件下B发生的概率为P′，则由A产生B的概率为PP′，根据这一规律解答下题：一种掷硬币走跳棋的游戏：棋盘上有第0，1，2，3，…，100，共101站，设棋子跳到第n站的概率为P_n，一枚棋子开始在第0站（即P₀=1），由棋手每掷一次硬币，棋子向前跳动一次，若硬币出现正面则棋子向前跳动一站，出现反面则向前跳动两站，直到棋子跳到第99站（获胜）或100站（失败）时，游戏结束．已知硬币出现正反面的概率都为

1

2

．
（1）求P₁，P₂，P₃，并根据棋子跳到第n+1站的情况，试用P_n，P_n-1表示P_n+1；
（2）设a_n=P_n-P_n-1（1≤n≤100），求证：数列{a_n}是等比数列，并求出{a_n}的通项公式；
（3）求玩该游戏获胜的概率．

Answer 1

分析：（1）根据题意，则P₁即棋子跳到第一站，有一种情况，即掷出正面，故可求；P₂即棋子跳到第2站，有2种情况，即两次掷出正面或一次掷出反面，故可求；P₃即棋子跳到第3站，有2种情况，即在第1站掷出反面，或在第2站掷出正面，故可求；P_n+1即棋子跳到第n站，有2种情况，即在第n-1站掷出反面，或在第n站掷出正面，则可得结论；
（2）由（1）知：Pn+1=

1

2

Pn+

1

2

Pn-1，可变形为Pn+1-Pn=-

1

2

(Pn-Pn-1)，故可得{P_n-P_n-1}表示等比数列，进而可得{a_n}的通项公式；
（3）玩该游戏获胜，即求P₉₉由（2）知，P_n-P_n-1=(-

1

2

)n（2≤n≤100），利用叠加法可得Pn=

2

3

[1-

1

4

×(-

1

2

)n-1]
，令n=99，可得玩该游戏获胜的概率．

解答：解：（1）根据题意，棋子跳到第n站的概率为P_n，
则P₁即棋子跳到第一站，有一种情况，即掷出正面，故P₁=

1

2

，
P₂即棋子跳到第2站，有2种情况，即两次掷出正面或一次掷出反面，则P2=

1

2

P0+

1

2

P1=

3

4

，
P₃即棋子跳到第3站，有2种情况，即在第1站掷出反面，或在第2站掷出正面，则P3=

1

2

P1+

1

2

P2=

5

8

故P_n+1即棋子跳到第n站，有2种情况，即在第n-1站掷出反面，或在第n站掷出正面，则Pn+1=

1

2

Pn+

1

2

Pn-1
（2）由（1）知：Pn+1=

1

2

Pn+

1

2

Pn-1，
∴Pn+1-Pn=-

1

2

(Pn-Pn-1)，
∴{P_n-P_n-1}表示等比数列，其公比为-

1

2

又a1=P1-P0=-

1

2

，
∴an=(-

1

2

)n，1≤n≤100；
（3）玩该游戏获胜，即求P₉₉
由（2）知，P_n-P_n-1=(-

1

2

)n（2≤n≤100），
∴P₂-P₁=

1

4

，
P₃-P₂=-

1

8

，…
P_n-P_n-1=(-

1

2

)n（2≤n≤100），
∴P_n-P₁=

1

4

-

1

8

+…+(-

1

2

)n
∴P_n-P₁=

1 4 [1-(- 1 2 )n-1]

1-(- 1 2 )

∴Pn=

2

3

[1-

1

4

×(-

1

2

)n-1]
∴n=99时，P99=

2

3

[1-(

1

2

)100]．

点评：本题以实际问题为载体，考查概率的运用，解题的关键是理解若硬币出现正面则棋子向前跳动一站，出现反面则向前跳动两站，由此得出概率之间的关系．