Question

9．已知数列{a_n}的前n项和T_n满足a_n+1=2T_n+6，且a₁=6．求数列{a_n}的通项公式，数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）由已知得a_n+1=3a_n，（n≥2），从而得到数列{a_n}是以6为首项，公比为3的等比数列，由此能求出a_n．
（2）由$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{2}•\frac{1}{{{3}^{n}}_{\;}}$，利用等比数列前n项和性质能求出数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}的前n项和．

解答 解：（1）∵数列{a_n}的前n项和T_n满足a_n+1=2T_n+6，且a₁=6，
∴由a_n+1=2T_n+6，①，得a_n=2T_n-1+6，（n≥2）②
②-①：有a_n+1-a_n=2T_n-2T_n-1，
即a_n+1=3a_n，（n≥2），
又a₁=6，由②有a₂=2T₁+6=2a₁+6=18，知a₂=3a₁，
∴数列{a_n}是以6为首项，公比为3的等比数列，
∴a_n=6•3^n-1=2•3ⁿ．
（2）∵a_n=2•3ⁿ，∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{2}•\frac{1}{{{3}^{n}}_{\;}}$，
∴数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}的前n项和：
S_n=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{3}+\frac{1}{{3}^{2}}+…+\frac{1}{{3}^{n}}$）=$\frac{1}{2}$×$\frac{\frac{1}{3}（1-\frac{1}{{3}^{n}}）}{1-\frac{1}{3}}$=$\frac{1}{4}-\frac{1}{4•{3}^{n}}$．

点评 本题考查数列的通项公式和前n项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意构造法和等比数列的性质的合理运用．