Question

（2011•黑龙江一模）已知函数f(x)=

3

2

sinxcosx-

3

2

sin2x+

3

4

．
（Ⅰ） 求函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）已知△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若f（A）=0，a=

3

，b=2，求△ABC的面积S．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用二倍角的正弦、余弦函数公式分别化简函数f（x）解析式的前两项，整理后，再利用特殊角的三角函数值及两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，根据正弦函数的单调递增区间[2kπ-

π

2

，2kπ+

π

2

]列出关于x的方程，求出方程的解即可得到函数的单调递增区间；
（Ⅱ）由f（A）=0，把x=A代入第一问化简后的函数解析式，利用特殊角的三角函数中求出A的度数，由已知的a小于b，根据三角形中大边对大角得到A小于B，即A为锐角，进而得到满足题意的A的度数，由A的度数求出sinA的值，再由a与b的值，利用正弦定理求出sinB的值，再利用特殊角的三角函数中求出B的度数，利用三角形的内角和定理求出C的度数，可得出sinC的值，由sinC，a与b的值，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积．

解答：（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）f（x）=

3

2

sinxcosx-

3

2

sin2x+

3

4

=

3

4

sin2x+

3

4

cos2x
=

3

2

sin(2x+

π

3

)，…（2分）
令2kπ-

π

2

≤2x+

π

3

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，…（4分）
解得：kπ-

5π

12

≤x≤kπ+

π

12

，
则函数f（x）的单调递增区间为[kπ-

5π

12

，kπ+

π

12

]，k∈Z；…（6分）
（Ⅱ）∵f（A）=0，
∴f（A）=

3

2

sin(2A+

π

3

)=0，
解得：A=

π

3

或A=

5

6

π，
又a＜b，∴A＜B，
故A=

π

3

，…（8分）又a=

3

，b=2，
由正弦定理

a

sinA

=

b

sinB

得：sinB=

bsinA

a

=1，
∴B=

π

2

，
∴C=π-（A+B）=

π

6

，…（10分）
则△ABC的面积S=

1

2

absinC=

3

2

．…（12分）

点评：此题考查了正弦定理，三角形的面积公式，两角和与差的正弦函数公式，二倍角的正弦、余弦函数公式，正弦函数的单调性，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握公式及定理是解本题的关键．