Question

已知圆C：x²+（y-1）²=5，直线l：mx-y+1-m=0．
（1）判断直线l与圆C的位置关系；
（2）设l与圆C交与不同两点A、B，求弦AB的中点M的轨迹方程；
（3）若定点P（1，1）分弦AB为

AP

PB

=

1

2

，求此时直线l的方程．

Answer 1

分析：（1）由圆的方程得到圆心坐标和半径，然后由点到直线的距离公式得到圆心到直线的距离，利用不等式放缩后得到圆心到直线的距离和半径的关系，从而得到答案；
（2）由已知得到直线过定点P（1，1），设出AB中点M的坐标，分M与P重合和不重合结合直角三角形中的勾股定理得弦AB的中点M的轨迹方程；
（3）把线段的长度比转化为两个想两件的关系，由向量的坐标运算得到A，B两点横坐标间的关系，联立直线与圆的方程化为关于x的一元二次方程，由根与系数关系得到A，B两点横坐标的和，求出其中一点的横坐标，最后再代入关于x的方程得到关于m的方程，求解得到m的值，则直线方程可求．

解答：解：（1）圆C：x²+（y-1）²=5的圆心为C（0，1），半径为

5

．
∴圆心C到直线l：mx-y+1-m=0的距离d=

|-m|

m2+1

≤

|m|

|2m|

=

1

2

＜

5

∴直线l与圆C相交；
（2）由直线方程mx-y+1-m=0，得m（x-1）-y+1=0，可知直线l过定点P．
当M与P不重合时，连结CM、CP，则CM⊥MP，
∴|CM|²+|MP|²=|CP|²
设M（x，y）（x≠1），则x²+（y-1）²+（x-1）²+（y-1）²=1，
化简得：x²+y²-x-2y+1=0（x≠1）；
当M与P重合时，x=1，y=1也满足上式．
故弦AB中点的轨迹方程是x²+y²-x-2y+1=0．
（3）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由

AP

PB

=

1

2

，得

AP

=

1

2

PB

，
∴1-x1=

1

2

(x2-1)，化简的x₂=3-2x₁…①
又由

mx-y+1-m=0 x2+(y-1)2=5

，消去y得：（1+m²）x²-2m²x+m²-5=0…（*）
∴x1+x2=

2m2

1+m2

…②
由①②解得x1=

3+m2

1+m2

，代入（*）式解得m=±1，
∴直线l的方程为x-y=0或x+y-2=0．

点评：本题考查了与直线有关的动点的轨迹方程，考查了直线与圆的关系，体现了分类讨论的数学思想方法和数学转化思想方法，考查了学生的灵活处理问题的能力和计算能力，是中高档题．