【题目】某种水果按照果径大小可分为四类:标准果、优质果、精品果、礼品果.某采购商从采购的一批水果中随机抽取个,利用水果的等级分类标准得到的数据如下:
等级 | 标准果 | 优质果 | 精品果 | 礼品果 |
个数 | 10 | 30 | 40 | 20 |
(1)若将频率是为概率,从这个水果中有放回地随机抽取个,求恰好有个水果是礼品果的概率.(结果用分数表示)
(2)用样本估计总体,果园老板提出两种购销方案给采购商参考.
方案:不分类卖出,单价为元.
方案:分类卖出,分类后的水果售价如下:
等级 | 标准果 | 优质果 | 精品果 | 礼品果 |
售价(元/kg) | 16 | 18 | 22 | 24 |
从采购单的角度考虑,应该采用哪种方案?
(3)用分层抽样的方法从这个水果中抽取个,再从抽取的个水果中随机抽取个,表示抽取的是精品果的数量,求的分布列及数学期望.
【答案】(1);(2)第一种方案;(3)详见解析
【解析】
(1)计算出从个水果中随机抽取一个,抽到礼品果的概率;则可利用二项分布的概率公式求得所求概率;(2)计算出方案单价的数学期望,与方案的单价比较,选择单价较低的方案;(3)根据分层抽样原则确定抽取的个水果中,精品果个,非精品果个;则服从超几何分布,利用超几何分布的概率计算公式可得到每个取值对应的概率,从而可得分布列;再利用数学期望的计算公式求得结果.
(1)设从个水果中随机抽取一个,抽到礼品果的事件为,则
现有放回地随机抽取个,设抽到礼品果的个数为,则
恰好抽到个礼品果的概率为:
(2)设方案的单价为,则单价的期望值为:
从采购商的角度考虑,应该采用第一种方案
(3)用分层抽样的方法从个水果中抽取个,则其中精品果个,非精品果个
现从中抽取个,则精品果的数量服从超几何分布,所有可能的取值为:
则;;;
的分布列如下:
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【题目】2015年“双十一”当天,甲、乙两大电商进行了打折促销活动,某公司分别调查了当天在甲、乙电商购物的1000名消费者的消费金额,得到了消费金额的频数分布表如下:
甲电商:
消费金额(单位:千元) | [0,1) | [1,2) | [2,3) | [3,4) | [4,5] |
频数 | 50 | 200 | 350 | 300 | 100 |
乙电商:
消费金额(单位:千元) | [0,1) | [1,2) | [2,3) | [3,4) | [4,5] |
频数 | 250 | 300 | 150 | 100 | 200 |
(Ⅰ)根据频数分布表,完成下列频率分布直方图,并根据频率分布直方图比较消费者在甲、乙电商消费金额的中位数的大小以及方差的大小(其中方差大小给出判断即可,不必说明理由);
(Ⅱ)(ⅰ)根据上述数据,估计“双十一”当天在甲电商购物的大量的消费者中,消费金额小于3千元的概率;
(ⅱ)现从“双十一”当天在甲电商购物的大量的消费者中任意调查5位,记消费金额小于3千元的人数为X,试求出X的期望和方差.
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【题目】已知椭圆的离心率,且圆经过椭圆C的上、下顶点.
(1)求椭圆C的方程;
(2)若直线l与椭圆C相切,且与椭圆相交于M,N两点,证明:的面积为定值(O为坐标原点).
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【题目】如图,直线与抛物线(常数)相交于不同的两点、,且(为定值),线段的中点为,与直线平行的切线的切点为(不与抛物线对称轴平行或重合且与抛物线只有一个公共点的直线称为抛物线的切线,这个公共点为切点).
(1)用、表示出点、点的坐标,并证明垂直于轴;
(2)求的面积,证明的面积与、无关,只与有关;
(3)小张所在的兴趣小组完成上面两个小题后,小张连、,再作与、平行的切线,切点分别为、,小张马上写出了、的面积,由此小张求出了直线与抛物线围成的面积,你认为小张能做到吗?请你说出理由.
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【题目】某学校艺术专业300名学生参加某次测评,根据男女学生人数比例,使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生,记录他们的分数,将数据分成7组:[20,30),[30,40),…,[80,90],并整理得到如下频率分布直方图:
(1)从总体的300名学生中随机抽取一人,估计其分数小于70的概率;
(2)已知样本中分数小于40的学生有5人,试估计总体中分数在区间[40,50)内的人数;
(3)已知样本中有一半男生的分数不小于70,且样本中分数不小于70的男女生人数相等.试估计总体中男生和女生人数的比例.
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【题目】已知抛物线y2=2px的焦点为F,准线方程是x=﹣1.
(I)求此抛物线的方程;
(Ⅱ)设点M在此抛物线上,且|MF|=3,若O为坐标原点,求△OFM的面积.
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【题目】给出下列命题
(1)若一条直线与两条直线都相交,那么这三条直线共面;
(2)若三条直线两两平行,那么这三条直线共面;
(3)若直线与直线异面,直线与直线异面,那么直线与直线异面;
(4)若直线与直线垂直,直线与直线垂直,那么直线与直线平行;
其中正确的命题个数有( )
A.0个B.1个C.2个D.3个
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【题目】如图,圆与轴相切于点,与轴正半轴交于两点,(在的上方),且.
(1)求圆的标准方程;
(2)过点作任一条直线与圆:相交于,两点.
①求证:为定值,并求出这个定值;
②求的面积的最大值.
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