Question

16．如图1，矩形ABCD，AB=2BC=4，M，N，E分别为AD，BC，CD的中点．现将△ADE沿AE折起，折起过程中，点D仍记作D，得到如图2所示的四棱锥D-ABCE．
（1）证明：MN∥平面CDE；
（2）当AD⊥BE时，求直线BD与平面CDE所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）取BD中点O，连结MO，NO，由已知推导出NO∥CE，MO∥CE，由此能证明平面CDE∥平面MNO，从而MN∥平面CDE．
（2）以E为原点，EA为x轴，EB为y轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线BD与平面CDE所成角的正弦值．

解答 证明：（1）取BD中点O，连结MO，NO，
∵M，N分别为AD，BC的中点，∴NO∥CE，MO∥AB，
∵CE∥AB，∴MO∥CE，
∵MO∩NO=O，CE∩CD=C，
∴平面CDE∥平面MNO，
∵MN?平面MNO，∴MN∥平面CDE．
解：（2）∵AB=2BC=4，E是CD中点，∴AE=BE=$\sqrt{4+4}$=2$\sqrt{2}$，
∴AE²+BE²=AB²，∴AE⊥BE，
以E为原点，EA为x轴，EB为y轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
C（-2，$\sqrt{2}$，0），A（2$\sqrt{2}$，0，0），B（0，2$\sqrt{2}$，0），
设D（a，b，c），则$\overrightarrow{AD}$=（a-2$\sqrt{2}$，b，c），$\overrightarrow{ED}$=（a，b，c），$\overrightarrow{BD}$=（a，b-2$\sqrt{2}$，c），$\overrightarrow{EB}$=（0，2$\sqrt{2}$，0），
∵AD⊥BE，AD⊥DE，BE∩DE=E，∴AD⊥平面BDE，
∴$\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{EB}$=2$\sqrt{2}b$=0，∴D（a，o，c），
∵AD=DE=2，AE=2$\sqrt{2}$，∴a=c=$\sqrt{2}$，∴D（$\sqrt{2}，0，\sqrt{2}$），
∴$\overrightarrow{BD}$=（$\sqrt{2}$，-2$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$），$\overrightarrow{EC}$=（-2，$\sqrt{2}$，0），$\overrightarrow{ED}$=（$\sqrt{2}，0，\sqrt{2}$），
设平面CDE的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{EC}=-2x+\sqrt{2}y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{ED}=\sqrt{2}x+\sqrt{2}z=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，$\sqrt{2}$，-1），
设直线BD与平面CDE所成角为θ，
则sinθ=$\frac{|\overrightarrow{BD}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{BD}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{|-4|}{\sqrt{12}•2}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
∴直线BD与平面CDE所成角的正弦值为$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查线面平行的证明，考查线面角的正弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．