【题目】如图，在四棱柱
中，底面ABCD和侧面
都是矩形，E是CD的中点，
，
.
（1）求证：
；
（2）若平面与平面
所成的锐二面角的大小为
，求线段
的长度.
【答案】（1）证明过程详见解析；（2）
.
【解析】
试题分析：本题主要考查线线垂直、线面垂直、面面垂直、二面角等基础知识，考查学生的空间想象能力、逻辑推理能力、计算能力.第一问，由已知得
，
，所以利用线面平行的判定得
平面
，再利用线面垂直的性质，得
；第二问，可以利用传统几何法求二面角的平面角，也可以利用向量法求平面
和平面
的法向量，利用夹角公式列出方程，通过解方程，求出线段
的长度..
（1）证明：∵底面
和侧面
是矩形，
∴，
又∵
∴平面 3分
∵
平面∴ ． 6分
（2）
解法1：延长
，
交于
，连结
，
则平面
平面
底面
是矩形，
是
的中点，
，∴连结
，则
又由（1）可知
又∵
，
∴
底面，∴
∴
平面
9
过
作
于
，连结
，则
是平面与平面即平面
与平面所成锐二面角的平面角，所以
又
，∴
又易得
，
，从而由
，求得． 12分
解法2：由（1）可知
又∵，∴底面 7分
设为
的中点，以
为原点，以
，
，
所在直线分别为
轴，建立空间直角坐标系如图． 8分
设
，则
，
，
，
，
设平面
的一个法向量
∵
，
由
，得
令
，得
9分
设平面
法向量为
，因为 
，
，
由
得
令
，得
． 10分
由平面
与平面所成的锐二面角的大小为
，
得 
，解得
． 即线段
的长度为
． 12分
名校课堂系列答案科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】函数
的定义域为
，对给定的正数
，若存在闭区间
，使得函数
满足：①
在
内是单调函数；②
在
上的值域为
，则称区间
为
的
级“理想区间”.下列结论错误的是（ ）
A. 函数
（
）存在1级“理想区间”
B. 函数
（
）不存在2级“理想区间”
C. 函数
（
）存在3级“理想区间”
D. 函数
， 
不存在4级“理想区间”
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】（本小题满分12分，（1）小问7分，（2）小问5分）
设函数
（1）若
在
处取得极值，确定
的值，并求此时曲线
在点
处的切线方程；
（2）若在
上为减函数，求
的取值范围。
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】选修4-4：坐标系与参数方程
已知直线
的极坐标方程为
），圆
的参数方程为： 
（其中
为参数）.
（1）判断直线
与圆
的位置关系；
（2）若椭圆的参数方程为
（
为参数），过圆
的圆心且与直线
垂直的直线
与椭圆相交于
两点，求
.
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】如图：在四棱锥
中， 
平面
，底面
是正方形， 
.
（1）求异面直线
与
所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；
（2）求点
、
分别是棱
和
的中点，求证： 
平面
.
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】如图所示：湖面上甲、乙、丙三艘船沿着同一条直线航行，某一时刻，甲船在最前面的
点处，乙船在中间
点处，丙船在最后面的
点处，且
.一架无人机在空中的
点处对它们进行数据测量，在同一时刻测得
， 
.（船只与无人机的大小及其它因素忽略不计）
（1）求此时无人机到甲、丙两船的距离之比；
（2）若此时甲、乙两船相距100米，求无人机到丙船的距离.（精确到1米）
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