Question

函数f（x）=

x，x∈P -x，x∈M

其中P，M为实数集R的两个非空子集，又规定f（P）={y|y=f（x），x∈P}，f（M）={y|y=f（x），x∈M}．给出下列四个判断其中正确的序号为

②④

：
①若P∩M=∅，则f（P）∩f（M）=∅；   
②若P∩M≠∅，则f（P）∩f（M）≠∅；
③若P∪M=R，则f（P）∪f（M）=R；  
④若P∪M≠R，则f（P）∪f（M）≠R．

Answer 1

分析：根据函数f（x）=

x，x∈P -x，x∈M

，可借助两个函数y=x与y=-x图象来研究，分析可得答案．

解答：解：由题意知函数f（P）、f（M）的图象如图所示．
设P=[x₂，+∞），M=（-∞，x₁]，
∵|x₂|＜|x₁|，f（P）=[f（x₂），+∞），f（M）=[f（x₁），+∞），∴P∩M=∅．
而f（P）∩f（M）=[f（x₁），+∞）≠∅，故①错误．
同理可知②正确．
设P=[x₁，+∞），M=（-∞，x₂]，
∵|x₂|＜|x₁|，则P∪M=R．
f（P）=[f（x₁），+∞），f（M）=[f（x₂），+∞），
f（P）∪f（M）=[f（x₁），+∞）≠R，故③错误．
④若P∪M≠R，则f（P）∪f（M）≠R．这是不对的
∵f（x）是函数，对于定义域内的值x，都有唯一确定的值与之对应．
∴在x∈P∩M的时候，x=-x，即x只能为0，
也就是说，P和M若有交集，则只能为{0}
若要让f（x）取到R上每一个点，就要求定义域在R上不能有遗漏，
∴P∪M≠R时，必定f（P）∪f（M）≠R，故④正确
故答案为：②④

点评：本题考查对题设条件的理解与转化能力，借助图形的直观来来帮助判断命题的正误，以形助数，是解题的关键．