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已知中心在原点、焦点在x轴上椭圆,离心率为数学公式,且过点A(1,1)
(Ⅰ)求椭圆方程;
(Ⅱ)如图,B为椭圆右顶点,椭圆上点C与A关于原点对称,过点A作两条直线交椭圆P、Q(异于A、B),交x轴与P',Q',若|AP'|=|AQ'|,求证:存在实数λ,使得数学公式

解:(Ⅰ)设椭圆方程为.离心率为=?=
∵点A(1,1)在椭圆上,∴=1②
又a2=b2+c2
解得
故所求椭圆方程为=1
(Ⅱ)由A(1,1)得C(-1,1)
则kBC=
易知AP的斜率k必存在,设AP;y=k(x-1)+1,则AQ:y=-k(x-1)+1,
得(1+3k2)x2-6k(k-1)x+3k2-6k-1=0
由A(1,1)得x=1是方程(1+3k2)x2-6k(k-1)x+3k2-6k-1=0的一个根
由韦达定理得:xp=xp•1=
以-k代k得xQ=故kPQ==
故BC∥PQ
即存在实数λ,使得
分析:(Ⅰ)先把椭圆方程设出来,再利用离心率为,且过点A(1,1)以及a2=b2+c2求出对应a,b,c的值即可.
(Ⅱ)先求出直线BC的斜率,再利用条件|AP'|=|AQ'|,知道直线AP的斜率k与AQ的斜率互为相反数,把直线AP的方程设出来,于椭圆方程联立,求出点P的坐标,同理求出点Q的坐标,只要直线PQ的斜率与直线BC的斜率相等即可证得结论.
点评:本题综合考查了直线与椭圆的位置关系以及向量共线问题.直线与圆锥曲线的位置关系,由于集中交汇了直线,圆锥曲线两章的知识内容,综合性强,能力要求高,还涉及到函数,方程,不等式,平面几何等许多知识,可以有效的考查函数与方程的思想,数形结合的思想,分类讨论的思想和转化化归的思想,因此,这一部分内容也成了高考的热点和重点.
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