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精英家教网如图,有一矩形钢板ABCD缺损了一角(图中阴影部分),边缘线OM上每一点到点D的距离都等于它到边AB的距离.工人师傅要将缺损的一角切割下来使剩余部分成一个五边形,若AB=1米,AD=0.5米,当沿切割线EF切割使剩余部分五边形ABCEF的面积最大时,AF的长度为(  )米.
A、
1
12
B、
1
6
C、
5
12
D、
3-
3
3
分析:边缘线OM上每一点到点D的距离都等于它到边AB的距离.说明边缘线OM是以D为焦点,以AB所在直线为准线的抛物线的一部分,故以AD所在直线为Y轴,以AD的垂直平分线所在直线为x轴,建立坐标系,求得此抛物线的方程,作出如图的切线EF,设出切点的坐标,将五边形的面积表示出来,判断出面积最大时AF的值即为所求,
解答:解:由条件易知,边缘线OM是以点D为焦点,直线AB为准线的抛物线的一部分.以O点为原点,AD所在直线为y轴建立直角坐标系,则p=0.5,易求得边缘线OM所在抛物线的方程为:x2=y…3分
要使如图的五边形ABCEF面积最大,则必有EF所在直线与抛物线相切,设切点为 (x0,y0
则直线EF的方程为:y-y0=2x0(x-x0),
由此可求得点F、E的坐标分别为(0,-x02),(
1
4
+x0 2
2x0
1
4
)

梯形的面积为0.5-
1
2
×(
1
4
+x0 2
1
4
+x0 2
2x0
=0.5-
1
64
×
16x0 4+8x0 2+1
x0
x0∈(0,
1
2
]

令t=
16x0 4+8x0 2+1
x0
x0∈(0,
1
2
]

t′=
48x0 4+8x0 2-1
x0 2
=
12(4x0 2+1)(x0+
3
6
)(x0-
3
6
)
x0 2

显然函数t在 (0,
3
6
)
上是减函数,在 (
3
6
1
2
)
上是增函数,
∴当x0=
3
6
时,t取得最小值,相应地,五边形ABCEF的面积最大.…12分
此时点E、F的坐标分别为(
3
3
, 
1
4
)
(0,-
1
12
)

即沿直线EF画线段切割可使五边形ABCEF的面积最大.…13分
点评:本题考查抛物线的应用,解题的关键是根据题设条件建立起抛物线模型,再由图形将所研究的面积问题用一个函数关系表示出来,利用函数最值确定两点的坐标定下切线的位置,本题运算量相当大,模型先是建立圆锥曲线模型,再建立切线模型,最后又建立起面积模型,并用导数研究函数的单调性确定出面积取最值时切点的坐标,求出E,F的坐标,运算量大,综合性强,极易出错.
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科目:高中数学 来源:黑龙江省牡丹江一中09-10学年高二下学期期中考试实验班(数学理) 题型:选择题

 如图,有一矩形钢板缺损了一角(图中阴影部分),边缘线上每一点到点 的距离都等于它到边的距离。工人师傅要将缺损的一角切割下来使剩余部分成一个五边形,若米,米,当沿切割线切割使剩余部分五边形的面积最大时,的长度为(   )米。

A         B     

C         D 

 

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