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已知函数f1(x)=e|x-2a+1|,f2(x)=e|x-a|+1,x∈R.
(1)若a=2,求f(x)=f1(x)+f2(x)在x∈[2,3]上的最小值;
(2)若|f1(x)-f2(x)|=f2(x)-f1(x)对于任意的实数x∈R恒成立,求a的取值范围;
(3)当4≤a≤6时,求函数g(x)=
f1(x)+f2(x)
2
-
|f1(x)-f2(x)|
2
在x∈[1,6]上的最小值.
分析:(1)对于a=2,x∈[2,3],去掉绝对值得f(x)=e3-x+ex-1(3分),利用基本不等式积为定值,和有最小值即可求出函数的最小值,注意等号成立的条件;
(2)根据条件可知f1(x)≤f2(x)对于任意的实数x恒成立,转化成|x-2a+1|-|x-a|≤1对于任意的实数x恒成立,然后利用绝对值不等式进行求解即可求出参数a的范围;
(3)f1(x)与f2(x)的底数都同为e,外函数都单调递增,比较f1(x)与f2(x)的大小关系,只须比较|x-2a+1|与|x-a|+1的大小关系,则令F1(x)=|x-2a+1|,F2(x)=|x-a|+1,则G(x)=
F1(x),F1(x)≤F2(x)
F2(x),F1(x)>F2(x)
其中4≤a≤6,x∈[1,6],结合图形可知当4≤a≤6时G(x)min=F2(a)=1,g(x)min=e1=e.
解答:解:(1)对于a=2,x∈[2,3],f(x)=e|x-3|+e|x-2|+1=e3-x+ex-1(3分)
≥2
e3-xex-1
=2e,
当且仅当e3-x=ex-1,即x=2时等号成立,∴f(x)min=2e.(6分)
(2)|f1(x)-f2(x)|=f2(x)-f1(x)对于任意的实数x恒成立,
即f1(x)≤f2(x)对于任意的实数x恒成立,亦即e|x-2a+1|≤e|x-a|+1对于任意的实数x恒成立,
∴|x-2a+1|≤|x-a|+1,即|x-2a+1|-|x-a|≤1对于任意的实数x恒成立.(9分)
又|x-2a+1|-|x-a|≤|(x-2a+1)-(x-a)|=|-a+1|对于任意的实数x恒成立,故只需
|-a+1|≤1,解得0≤a≤2,∴a的取值范围为0≤a≤2.(12分)
(3)g(x)=
f1(x)+f2(x)
2
-
|f1(x)-f2(x)|
2
=
f1(x),f1(x)≤f2(x)
f2(x),f1(x)>f2(x)
(13分)
∵f1(x)与f2(x)的底数都同为e,外函数都单调递增
∴比较f1(x)与f2(x)的大小关系,只须比较|x-2a+1|与|x-a|+1的大小关系
令F1(x)=|x-2a+1|,F2(x)=|x-a|+1,
G(x)=
F1(x),F1(x)≤F2(x)
F2(x),F1(x)>F2(x)
其中4≤a≤6,x∈[1,6](14分)
∵4≤a≤6∴2a-1≥a≥1,令2a-1-x=1,得x=2a-2,由题意可以如下图象:
精英家教网(15分)
当4≤a≤6时,a≤6≤2a-2,G(x)min=F2(a)=1,g(x)min=e1=e;(18分)
点评:本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用,以及函数的最值及其几何意义和恒成立问题等有关知识,解决本题的关键是等价转化,以及数形结合,分类讨论的思想,难点是绝对值如何去.
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已知函数f1(x)=x,f2(x)=x2,f3(x)=x3,f4(x)=sinx,f5(x)=cosx,f6(x)=lg(|x|+1),将它们分别写在六张卡片上,放在一个盒子中,
(Ⅰ)现从盒子中任取两张卡片,将卡片上的函数相加得到一个新函数,求所得的函数是奇函数的概率;
(Ⅱ)从盒子中任取两张卡片,已知其中一张卡片上的函数为奇函数,求另一张卡片上的函数也是奇函数的概率;
(Ⅲ)现从盒子中逐一抽取卡片,且每次取出后均不放回,若取到一张记有偶函数的卡片则停止抽取,否则继续进行,求抽取次数ξ的分布列和数学期望.

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1
2
x2,f2(x)=alnx(a∈R)•
(I)当a>0时,求函数.f(x)=f1(x)•f2(x)的极值;
(II)若存在x0∈[1,e],使得f1(x0)+f2(x0)≤(a+1)x0成立,求实数a的取值范围;
(III)求证:当x>0时,lnx+
3
4x2
-
1
ex
>0.
(说明:e为自然对数的底数,e=2.71828…)

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