Question

（2008•黄冈模拟）甲、乙、丙、丁四人做相互传球练习，第一次甲传给其他三人中的一人，第二次由拿球者再传给其他三人中的一人，…，且拿球者传给其他三人中的任何一人都是等可能的，求：
（Ⅰ）共传了四次，第四次球传回到甲的概率；
（Ⅱ）若规定：最多传五次球，且在传球过程中，球传回到甲手中即停止传球；设ξ表示传球停止时传球的次数，求P（ξ=5）．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由题意知，第三次传球后，球不能在甲的手中，第四次传球后，球一定在甲的手中，而第二次传球后，球可在甲的手中，也可不在甲的手中．
分类讨论，计算可得答案．
（Ⅱ）ξ=5说明第二次、第三次、第四次、第五次传球的都不是甲，方法有3×2×2×2×3种，而所有的传球方法共有3⁵种，由此求得P（ξ=5）的值．

解答：解：（Ⅰ）由于每个人都有3种传球方法，故4此传球的方法总数为3⁴=81．
第三次传球后，球不能在甲的手中，第四次传球后，球一定在甲的手中．
而第二次传球后，球可在甲的手中，也可不在甲的手中．
若第二次传球后，球在甲的手中，则传球的方法数为：3×1×3×1=9，
若第二次传球后，球不在甲的手中，则传球的方法数为：3×2×2×1=12，
故第四次球传回到甲的概率为

9+12

81

=

7

27

．
（Ⅱ）ξ=5说明第二次、第三次、第四次、第五次传球的都不是甲，方法有3×2×2×2×3种，而所有的传球方法共有3⁵种，
故P(ξ=5)=

3×2×2×2×3

35

=

8

27

．

点评：本题考查等可能事件的概率，体现分类讨论的数学思想，属于中档题．