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设函数f(x)=x|xa|+b,求证:f(x)为奇函数的充要条件是a2b2=0.

证明 充分性:∵a2b2=0,∴ab=0,∴f(x)=x|x|.

f(-x)=-x|-x|=-x|x|,-f(x)=-x|x|,

f(-x)=-f(x),∴f(x)为奇函数.

必要性:若f(x)为奇函数,则对一切x∈R,f(-x)=-f(x)恒成立.

即-x|-xa|+b=-x|xa|-b恒成立.

x=0,则b=-b,∴b=0,令xa,则2a|a|=0,∴a=0.

a2b2=0.

练习册系列答案
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科目:高中数学 来源:2002年全国各省市高考模拟试题汇编 题型:044

设函数f(x)=(x-1)(a>0,且a≠1),当点P(x,y)是函数y=f(x)图象上的点时,点Q(3x,)是函数y=g(x)图象上的点.

  

(Ⅰ)写出函数y=g(x)的解析式;

(Ⅱ)求不等式g(x)≤f(x)的解集.

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科目:高中数学 来源:广州市2008届高中教材变式题2:二次函数 题型:022

设函数f(x)=x|x|+bx+c,给出下列4个命题:

①当c=0时,y=f(x)是奇函数;

②当b=0,c>0时,方程f(x)=0只有一个实根;

③y=f(x)的图象关于点(0,c)对称;

④方程f(x)=0至多有两个实根.

上述命题中正确的序号为________.

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科目:高中数学 来源:天津市耀华中学2012届高三寒假验收考试数学理科试题 题型:013

设函数f(x)=x|x|+bx+c,则下列命题中正确命题的序号有

①当b>0时,函数f(x)在R上是单调增函数;

②当b<0时,函数f(x)在R上有最小值;

③函数f(x)的图象关于(0,c)对称;

④方程f(x)=0可能有三个实数根.

[  ]

A.①③

B.①④

C.①②④

D.①③④

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科目:高中数学 来源:广东省云浮罗定中学2012届高三11月月考数学理科试题 题型:044

已知二次函数y=g(x)的图象经过点O(0,0)、A(m,0)与点P(m+1,m+1),设函数f(x)=(x-n)g(x)在x=a和x=b处取到极值,其中m>n>0,b<a.

(1)求g(x)的二次项系数k的值;

(2)比较a,b,m,n的大小(要求按从小到大排列);

(3)若m+n≤2,且过原点存在两条互相垂直的直线与曲线y=f(x)均相切,求y=f(x).

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科目:高中数学 来源:2012-2013学年宁夏高三第五次月考理科数学试卷(解析版) 题型:填空题

设函数f(x)=,D是由x轴和曲线y=f(x)及该曲线在点(1,0)处的切线所围成的封闭区域,则z=x-2y在D上的最大值为________.

 

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