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【题目】如下图,在四棱锥中,的中点。

(1)求证:

(2)线段上是否存在一点,满足?若存在,试求出二面角的余弦值;若不存在,说明理由。

【答案】(1)见解析;(2)存在点,满足,二面角的余弦值为

【解析】

试题分析:(1)要证平面,只要在平面内找到一条直线与平行即可,取的中点,构造平行四边形即可证明;(2)以分别为轴建立空间直角坐标系,写出点的坐标,假设上存在一点使,利用空间向量知识可得到在上存在点满足条件,平面的一个法向量为,再求出平面的法向量,即可求二面角的余弦值。

试题解析:(1)取的中点,连,过点作,垂足为

,又

四边形为平行四边形,

,在直角三角形中,

,而分别为的中点,

,又

,四边形为平行四边形,

平面平面平面

(2)由题意可得,两两互相垂直,如图,以分别为轴建立空间直角坐标系

,假设上存在一点使,设坐标为

,由,得

又平面的一个法向量为

设平面的法向量为

,得,即

不妨设,有

又由法向量方向知,该二面角为锐二面角,

故二面角的余弦值为

练习册系列答案
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