【题目】如下图,在四棱锥中,面,,,,,,,为的中点。
(1)求证:面;
(2)线段上是否存在一点,满足?若存在,试求出二面角的余弦值;若不存在,说明理由。
【答案】(1)见解析;(2)存在点,满足,二面角的余弦值为。
【解析】
试题分析:(1)要证平面,只要在平面内找到一条直线与平行即可,取的中点,构造平行四边形即可证明;(2)以分别为轴建立空间直角坐标系,写出点的坐标,假设上存在一点使,利用空间向量知识可得到在上存在点满足条件,平面的一个法向量为,再求出平面的法向量,即可求二面角的余弦值。
试题解析:(1)取的中点,连和,过点作,垂足为
∵,,∴,又
∴四边形为平行四边形,
∴,在直角三角形中,
∴,而分别为的中点,
∴且,又
∴且,四边形为平行四边形,
∴
平面,平面,∴平面。
(2)由题意可得,两两互相垂直,如图,以分别为轴建立空间直角坐标系,
则,假设上存在一点使,设坐标为,
则,由,得,
又平面的一个法向量为
设平面的法向量为
又,,
由,得,即
不妨设,有
则
又由法向量方向知,该二面角为锐二面角,
故二面角的余弦值为。
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【题目】已知函数f(x)=xlnx,
(1)求函数f(x)过(﹣1,﹣2)的切线的方程
(2)过点P(1,t)存在两条直线与曲线y=f(x)相切,求t的取值范围
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【题目】在直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数),为上的动点,点满足,点的轨迹为曲线.
(1)求曲线的直角坐标方程;
(2)在以为极点,轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线与的异于极点的交点为,与的异于极点的交点为,求.
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【题目】给定无穷数列,若无穷数列满足:对任意的,都有,则称与“比较接近”.
(1)设是首项为1,公比为的等比数列,,判断数列是否与“比较接近”;
(2)设数列的前四项为:,是一个与比较接近的数列,记集合,求中元素的个数;
(3)已知是公差为的等差数列,若存在数列满足:与较接近,且在中至少有1009个为正,求的取值范围.
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【题目】在平面直角坐标系中,圆的参数方程为为参数),在以原点为极点,轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中,直线的极坐标方程为.
(1)求圆的普通方程和直线的直角坐标方程;
(2)设直线与轴,轴分别交于两点,点是圆上任一点,求面积的最小值.
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中,直线的参数方程为(为参数),以坐标原点为极点,以轴正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.
(1)求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程;
(2)若直线与曲线相交于两点,设点,已知,求实数的值.
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【题目】已知函数f(x)=x3-3x2+1,g(x)=,若方程g[f(x)]-a=0(a>0)有6个实数根(互不相同),则实数a的取值范围是______.
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