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    如图，已知椭圆E：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1    （a＞b＞0），焦点为F1、F2，双曲线G：x2-y2=m（m＞0）的顶点是该椭圆的焦点，设P是双曲线G上异于顶点的任一点，直线PF1、PF2与椭圆的交点分别为A、B和C、D，已知三角形ABF2的周长等于8
    		2
    ，椭圆四个顶点组成的菱形的面积为8
    		2
    ．
    （1）求椭圆E与双曲线G的方程；
    （2）设直线PF1、PF2的斜率分别为k1和k2，探求k1和k2的关系；
    （3）是否存在常数λ，使得|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|恒成立？若存在，试求出λ的值；若不存在，请说明理由．
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    分析：（1）根据三角形ABF2的周长等于8
    		2
    ，椭圆四个顶点组成的菱形的面积为8
    		2
    可求出a，b的值，再利用双曲线G：x2-y2=m（m＞0）的顶点是该椭圆的焦点进而可求出m的值．
    （2）可利用斜率公式k=
    y2-y1
    x2-x1
    表示出k1，k2再探求k1和k2的关系，关系无非就是和，差，积，商．
    （3）牵涉到|AB|，|CD|，|AB|，|CD|需用到弦长公式，因而需要联立方程，故需要把直线AB的方程设出来联立方程代入计算即可．
    解答：解：（1）由题意知，椭圆中4a=8
    		2
    ，a=2
    		2
    ，2ab=8
    		2
    ，b=2
    所以椭圆的标准方程为
    x2
    8
    +
    y2
    4
    =1
    又顶点与焦点重合，所以m=c2=a2-b2=4；
    所以该双曲线的标准方程为
    x2
    4
    -
    y2
    4
    =1    ．
    （2）设点P（x，y），x≠±2k1=
    y
    x+2
    ，k2=
    y
    x-2
    k1•k2=
    y2
    x2-4

    P在双曲线上，所以
    x2
    4
    -
    y2
    4
    =1    y2=x2-4所以k1•k2=1
    （3）设直线AB：y=k1（x+2）k1≠0
    由方程组
    y=k1(x+2)
    x2
    8
    +
    y2
    4
    =1
    得（2k12+1）x2+8k12x+8k12-8=0
    设A（x1，y1），B（x2，y2）
    所以x1+x2=
    -8k12
    2k12+1
    ，x1x2=
    8k12-8
    2k12+1

    由弦长公式|AB|=
    		1+k12
    		(x1+x2)2-4x1x2
    =
    4
    		2
    (1+k12)
    2k12+1

    同理|CD|=
    		1+k22
    		(x1+x2)2-4x1x2
    =
    4
    		2
    (1+k22)
    2k22+1

    由k1•k2=1，k2=
    1
    k1
    代入得|CD|=
    4
    		2
    (1+k12)
    k12+2
    |AB|+|CD|=λ|AB|CD|，λ=
    1
    |AB|
    +
    1
    |CD|
    =
    3
    		2
    8

    所以存在λ=
    3
    		2
    8
    使得|AB|+|CD|=λ|AB|CD|成立．
    点评：此题第一问较简单属基础，第二问较复杂，一般情况下的关系无非就是和，差，积，商，关键是P在双曲线上，所以
    x2
    4
    -
    y2
    4
    =1    y2=x2-4然后代入计算．第三问是平常较常见的类型，主要是计算繁琐，只要计算不出错都可以达到目的．
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    科目：高中数学 来源： 题型：

    如图，已知椭圆E：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1(a＞b＞0)    的离心率为
    		3
    2
    ，E的左顶点为A、上顶点为B，点P在椭圆上，且△PF1F2的周长为4+2
    		3
    ．
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    （I）求椭圆的方程；
    （II）设C，D是椭圆E上两不同点，CD∥AB，直线CD与x轴、y轴分别交于M，N两点，且
    MC
    =λ
    CN
    ，
    MD
    =μ
    DN
    ，求λ+μ    的取值范围．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2013•宁波二模）如图，已知椭圆E：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1 (a＞b＞0)    的离心率是
    		2
    2
    ，P1、P2是椭圆E的长轴的两个端点（P2位于P1右侧），点F是椭圆E的右焦点．点Q是x轴上位于P2右侧的一点，且满足
    1
    |P1Q|
    +
    1
    |P2Q|
    =
    2
    |FQ|
    =2    ．
    （Ⅰ） 求椭圆E的方程以及点Q的坐标；
    （Ⅱ） 过点Q的动直线l交椭圆E于A、B两点，连结AF并延长交椭圆于点C，连结BF并延长交椭圆于点D．
    ①求证：B、C关于x轴对称；
    ②当四边形ABCD的面积取得最大值时，求直线l的方程．

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    科目：高中数学 来源：2013-2014学年安徽省宿州市高三上学期期末考试理科数学试卷（解析版） 题型：解答题

    如图，已知椭圆E的中心是原点O，其右焦点为F(2，0)，过x轴上一点A(3,0)作直线与椭圆E相交于P,Q两点,且的最大值为.

    (Ⅰ)求椭圆E的方程;

    (Ⅱ)设,过点P且平行于y轴的直线与椭圆E相交于另一点M,试问M,F,Q是否共线，若共线请证明；反之说明理由.

     

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    科目：高中数学 来源：2013届吉林省高二期中考试文科数学试卷（解析版） 题型：解答题

    如图，已知椭圆E经过点A（2,3），对称轴为坐标轴，焦点、在x轴上，离心率

    （1）求椭圆E的方程；

    （2）求的角平分线所在直线的方程.

     

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    科目：高中数学 来源：2013年浙江省宁波市高考数学二模试卷（理科）（解析版） 题型：解答题

    如图，已知椭圆E：的离心率是，P1、P2是椭圆E的长轴的两个端点（P2位于P1右侧），点F是椭圆E的右焦点．点Q是x轴上位于P2右侧的一点，且满足．
    （Ⅰ） 求椭圆E的方程以及点Q的坐标；
    （Ⅱ） 过点Q的动直线l交椭圆E于A、B两点，连结AF并延长交椭圆于点C，连结BF并延长交椭圆于点D．
    ①求证：B、C关于x轴对称；
    ②当四边形ABCD的面积取得最大值时，求直线l的方程．

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