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已知F1,F2分别是双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1 (a>0, b>0)
的左、右焦点,过点F2与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M,若点M在以线段F1F2为直径的圆外,则双曲线离心率的取值范围是(  )
分析:根据斜率与平行的关系即可得出过焦点F2的直线,与另一条渐近线联立即可得到交点M的坐标,再利用点M在以线段F1F2为直径的圆外和离心率的计算公式即可得出.
解答:解:如图所示,
过点F2(c,0)且与渐近线y=
b
a
x
平行的直线为y=
b
a
(x-c)

与另一条渐近线y=-
b
a
x
联立
y=
b
a
(x-c)
y=-
b
a
x
解得
x=
c
2
y=-
bc
2a
,即点M(
c
2
,-
bc
2a
)

∴|OM|=
(
c
2
)2+(-
bc
2a
)2
=
c
2
1+(
b
a
)2

∵点M在以线段F1F2为直径的圆外,∴|OM|>c,
c
2
1+(
b
a
)2
>c
,解得
1+(
b
a
)2
>2

∴双曲线离心率e=
c
a
=
1+(
b
a
)2
>2

故双曲线离心率的取值范围是(2,+∞).
故选D.
点评:熟练掌握平行线与向量的关系、双曲线的渐近线、两点间的距离计算公式、离心率的计算公式、点与圆的位置关系是解题的关键.
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

(2013•湖南)已知F1,F2分别是椭圆E:
x25
+y2=1
的左、右焦点F1,F2关于直线x+y-2=0的对称点是圆C的一条直径的两个端点.
(Ⅰ)求圆C的方程;
(Ⅱ)设过点F2的直线l被椭圆E和圆C所截得的弦长分别为a,b.当ab最大时,求直线l的方程.

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科目:高中数学 来源: 题型:

(2013•青岛二模)已知F1、F2分别是双曲线C:
x2
a2
-
y2
b2
=1
(a>0,b>0)的左、右焦点,P为双曲线右支上的一点,
PF2
F1F2
,且|
PF1
|=
2
|
PF2
|
,则双曲线的离心率为(  )

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科目:高中数学 来源: 题型:

如图,已知F1,F2分别是椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的左、右焦点,且椭圆C的离心率e=
1
2
,F1也是抛物线C1:y2=-4x的焦点.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)过点F2的直线l交椭圆C于D,E两点,且2
DF2
=
F2E
,点E关于x轴的对称点为G,求直线GD的方程.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知F1,F2分别是双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1(a>0,b>0)
的左,右焦点,P是双曲线的上一点,若
PF1
PF2
=0
|
PF1
|•|
PF2
|=3ab
,则双曲线的离心率是
 

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