解:(1)∵函数
![](http://thumb.1010pic.com/pic5/latex/7341.png)
∴f′(x)=
![](http://thumb.1010pic.com/pic5/latex/7343.png)
∵曲线y=f(x)在x=1和x=3处的切线互相平行,
∴f′(1)=f′(3),
∴
![](http://thumb.1010pic.com/pic5/latex/7344.png)
∴6-8a=0
∴a=
![](http://thumb.1010pic.com/pic5/latex/365.png)
;
(2)若a=1时,
![](http://thumb.1010pic.com/pic5/latex/7345.png)
,∴x∈(0,1),f′(x)>0,x∈(1,+∞),f′(x)<0
∴y=f(x)在(0,1)上为增函数,在(1,+∞)上为减函数;
若a≠1时,令f′(x)=0,可得x
1=1,x
2=
![](http://thumb.1010pic.com/pic5/latex/7346.png)
①若
![](http://thumb.1010pic.com/pic5/latex/7347.png)
,则a≥1,∴x∈(0,1),f′(x)>0,x∈(1,+∞),f′(x)<0
∴y=f(x)在(0,1)上为增函数,在(1,+∞)上为减函数;
②若
![](http://thumb.1010pic.com/pic5/latex/7348.png)
0,即0<a<1时
(Ⅰ)0<
![](http://thumb.1010pic.com/pic5/latex/7349.png)
时,
![](http://thumb.1010pic.com/pic5/latex/7350.png)
1,在(0,
![](http://thumb.1010pic.com/pic5/latex/7346.png)
),(1,+∞)上为增函数,在(
![](http://thumb.1010pic.com/pic5/latex/7346.png)
,1)上为减函数
(Ⅱ)
![](http://thumb.1010pic.com/pic5/latex/7351.png)
时,在(0,1),(
![](http://thumb.1010pic.com/pic5/latex/7346.png)
,+∞)上为增函数,在(1,
![](http://thumb.1010pic.com/pic5/latex/7346.png)
)上为减函数
(Ⅲ)
![](http://thumb.1010pic.com/pic5/latex/6677.png)
时,f′(x)>0恒成立,则f(x)在(0,+∞)上恒为增函数.
(3)当
![](http://thumb.1010pic.com/pic5/latex/7342.png)
时,由(1)知,函数
![](http://thumb.1010pic.com/pic5/latex/7352.png)
在 (0,1)是增函数,在(1,2)是减函数
∴f(x)在(0,2]的最大值为f(1)=-
![](http://thumb.1010pic.com/pic5/latex/33.png)
若对任意x
1∈(0,2],都存在x
2∈(0,2],都存在x
2∈[1,2]使f(x
1)≤g(x
2),等价于函数f(x)在(0,2]的最大值-
![](http://thumb.1010pic.com/pic5/latex/33.png)
不大于g(x)在[1,2]的最大值
下面求g(x)=x
2-bx+1在[1,2]上的最大值
∵g(x)=x
2-bx+1的对称轴是直线
![](http://thumb.1010pic.com/pic5/latex/7353.png)
①当
![](http://thumb.1010pic.com/pic5/latex/7354.png)
,即b≤3时,g(x)在[1,2]为增函数,则g(x)
max=g(2)=5-2b,
∴
![](http://thumb.1010pic.com/pic5/latex/7355.png)
,∴b≤
![](http://thumb.1010pic.com/pic5/latex/3227.png)
,满足b≤3;
②当
![](http://thumb.1010pic.com/pic5/latex/7356.png)
,即b>3时,g(x)在[1,2]为减函数,则g(x)
max=g(1)=2-b,
∴
![](http://thumb.1010pic.com/pic5/latex/7357.png)
,∴b≤
![](http://thumb.1010pic.com/pic5/latex/4579.png)
,∴3<b≤
![](http://thumb.1010pic.com/pic5/latex/4579.png)
,
综上,实数b的取值范围为b≤
![](http://thumb.1010pic.com/pic5/latex/4579.png)
.
分析:(1)求导数,利用曲线y=f(x)在x=1和x=3处的切线互相平行,即可求得a的值;
(2)若a=1时,利用导数的正负可得y=f(x)在(0,1)上为增函数,在(1,+∞)上为减函数;
若a≠1时,令f′(x)=0,可得x
1=1,x
2=
![](http://thumb.1010pic.com/pic5/latex/7346.png)
,结合函数的定义域分类讨论,即可求得结论;
(3)当
![](http://thumb.1010pic.com/pic5/latex/7342.png)
时,f(x)在(0,2]的最大值为f(1)=-
![](http://thumb.1010pic.com/pic5/latex/33.png)
,若对任意x
1∈(0,2],都存在x
2∈(0,2],都存在x
2∈[1,2]使f(x
1)≤g(x
2),等价于函数f(x)在(0,2]的最大值-
![](http://thumb.1010pic.com/pic5/latex/33.png)
不大于g(x)在[1,2]的最大值,利用配方法确定函数g(x)=x
2-bx+1在[1,2]上的最大值,即可得到实数b的取值范围.
点评:本题考查导数知识的运用,考查导数的几何意义,考查函数的单调性,考查分类讨论的数学思想,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.