Question

设函数f(x)＝－x³＋x²＋(m²－1)x(x∈R)，其中m>0.

(1)当m＝1时，求曲线y＝f(x)在(1，f(1))点处的切线的方程；

(2)求函数f(x)的单调区间与极值；

(3)已知函数g(x)＝f(x)＋有三个互不相同的零点，求m的取值范围．

Answer 1

解析　(1)当m＝1时，f(x)＝－x³＋x²，f′(x)＝－x²＋2x，故f′(1)＝1.

所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率为1.

切线方程为3x－3y－1＝0.

(2)f′(x)＝－x²＋2x＋m²－1，令f′(x)＝0，得到x＝1－m或x＝1＋m.

因为m>0，所以1＋m>1－m.

当x变化时，f(x)，f′(x)的变化情况如下表：

x	(－∞，1－m)	1－m	(1－m,1＋m)	1＋m	(1＋m，＋∞)
f′(x)	－	0	＋	0	－
f(x)		极小值		极大值	

f′(x)在(－∞，1－m)和(1＋m，＋∞)内减函数，在(1－m，1＋m)内增函数．

函数f(x)在x＝1＋m处取得极大值f(1＋m)，且f(1＋m)＝m³＋m²－.

函数f(x)在x＝1－m处取得极小值f(1－m)，

且f(1－m)＝－m³＋m²－.

(3)由(2)知，

函数g(x)在x＝1＋m处取得极大值g(1＋m)＝f(1＋m)＋，

且g(1＋m)＝m³＋m².

函数g(x)在x＝1－m处取得极小值g(1－m)＝f(1－m)＋，

且g(1－m)＝－m³＋m².

根据三次函数的图像与性质，函数g(x)＝f(x)＋有三个互不相同的零点，只需要

所以m的取值范围是.