Question

如图所示，已知双曲线S的两条渐近线过坐标原点，且与以点A(，0)为圆心、1为半径的圆相切，双曲线S的一个顶点与点A关于直线y＝x对称．设直线l过点A，斜率为k． (1) 求双曲线S的方程 (2) 当k＝1时，在双曲线S的上支上求点B，使其与直线l的距离为 (3) 当0≤k＜1时，若双曲线S的上支上有且只有一个点B到直线l的距离为，求斜率k的值及相应的点B的坐标．

Answer 1

答案：
解析：

(1)	解析：由已知可得双曲线的两条渐近线方程为y＝±x，(0，)． 　　双曲线S的方程为－＝1．
(2)	设B(x，)是双曲线S上到直线l：y＝x－的距离为的点，由点到直线距离公式有＝． 　　解得x＝，y＝2，即B(，2)．
(3)	当0≤k＜1时，双曲线S的上支在直线l的上方，所以点B在直线l的上方．设直线与直线l：y＝k(x－)平行，两线间的距离为，且直线在直线l的上方．双曲线S的上支上有且仅有一个点B到直线l的距离为，等价于直线与双曲线S的上支有且只有一个公共点． 　　设的方程为y＝kx＋m， 　　由l上的点A到的距离为，可知＝，解得m＝(±－k)． 　　因为直线在直线l的上方，所以m＝(－k)． 　　由方程组 　　消去y，得(k2－1)x2＋2mkx＋m2－2＝0， 　因为k2≠1，所以 　　　△＝4m2k2－4(k2－1)(m2－2) 　　　　＝4(－2＋2k2) 　　　　＝8k(3k－2)． 　　令△＝0，由0≤k＜1，解得k＝0，k＝． 　　当k＝0时，m＝，解得x＝0，y＝． 　　此时点B的坐标为(0，)； 　　当k＝时，m＝，解得x＝2，y＝．此时点B的坐标为(2，)．