Question

（2012•开封一模）已知函数h（x）=ln（ax+b）在点M（1，h（1））处的切线方程为x-2y+ln4-1=0．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）若f（x）=[h(x)]2-

x2

1+x

，求函数f（x）的单调区间．

Answer 1

分析：（I）先对函数求导，然后由导数的几何意义可知

a

a+b

=

1

2

，h（1）=ln（a+b）=ln2，代入可求a，b
（II）先求函数的定义域为（-1，+∞），f（x）=[h(x)]2-

x2

1+x

=ln2(1+x)-

x2

1+x

，对函数求导可得f′(x)=

2ln(1+x)

1+x

-

x2+2x

(1+x)2

=

2(1+x)ln(1+x)-x2-2x

(1+x)2

，构造函数g（x）=2（1+x）ln（1+x）-2x-x²，二次求导，通过导数可得函数g（x）的单调性，进而可得当-1＜x＜0时，g（x）＞g（0）=0，当x＞0时，g（x）＜g（0）=0，从而可判断函数f（x）的单调区间

解答：解（I）∵h（x）=ln（ax+b）
∴h′(x)=

a

ax+b

∵在点M（1，h（1））处的切线方程为x-2y+ln4-1=0
∴

a

a+b

=

1

2

∵h（1）=ln2即ln（a+b）=ln2
∴a=b=1（4分）
（II）函数的定义域为（-1，+∞），f（x）=[h(x)]2-

x2

1+x

=ln2(1+x)-

x2

1+x

∴f′(x)=

2ln(1+x)

1+x

-

x2+2x

(1+x)2

=

2(1+x)ln(1+x)-x2-2x

(1+x)2

设g（x）=2（1+x）ln（1+x）-2x-x²，则g′（x）=2ln（1+x）-2x
令φ（x）=2ln（1+x）-2x，则φ′(x)=

2

1+x

-2=

-2x

1+x

当-1＜x＜0时，φ′（x）＞0，φ（x）在（-1，0）上单调递增
当x＞0时，φ′（x）＜0，，φ（x）在（0，+∞）上单调递减
∴，φ（x）在x=0处取得极大值，而，φ（0）=3，
∴g′（x）＜0（x≠0）
∴g（x）在（-1，+∞）上单调递减
于是当-1＜x＜0时，g（x）＞g（0）=0，当x＞0时，g（x）＜g（0）=0
∴当-1＜x＜0时，f′（x）＞0，f（x）在（-1，0）上单调递增
当x＞0时，f′（x）＜0，f（x）在（0，+∞）上单调递减
故函数f（x）的递增区间（-1，0），单调递减区间为（0，+∞）（12分）

点评：本题主要考察了导数的几何意义的应用，及利用导数求解函数的单调区间，注意本题中利用构造函数二次求导方法的应用．