Question

已知定义在R上的函数y=f（x）满足以下三个条件：①对于任意的x∈R，都有f（x+4）=f（x）；②对于任意的a，b∈[0，2]，且a＜b，都有f（a）＜f（b）；③函数y=f（x+2）是偶函数，则下列结论正确的是（　　）

Answer 1

分析：求解本题需要先把函数的性质研究清楚，由三个条件知函数周期为4，其对称轴方程为x=2，在区间[0，2]上是增函数，观察四个选项发现自变量都不在已知的单调区间内故应用相关的性质将其值用区间[0，2]上的函数值表示出，以方便利用单调性比较大小．

解答：解：由①知f（x）是以4为周期的周期函数；由②知f（x）在区间[0，2]上是增函数；
由③知f（2+x）=f（2-x），其图象的对称轴为x=2，
∴f（4.5）=f（0.5），
f（7）=f（3）=f（2+1）=f（2-1）=f（1），
f（6.5）=f（2.5）=f（2+0.5）=f（2-0.5）=f（1.5），
∵0＜0.5＜1＜1.5＜2，且函数y=f（x）在区间[0，2]上是增函数，
∴f（0.5）＜f（1）＜f（1.5），即f（4.5）＜f（7）＜f（6.5），
故选A．

点评：本题综合考查了函数的周期性、函数的对称性与函数的单调性，涉及到了函数的三个主要性质，本题中周期性与对称性的作用是将不在同一个单调区间上的函数值的大小比较问题转化成同一个单调区间上来比较，函数图象关于直线x=a对称，有两个等价方程：①f（a+x）=f（a-x），②f（x）=f（2a-x），做题时应根据题目条件灵活选择对称性的表达形式．