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    已知点P（x，y）为椭圆
    x2
    4
    +y2=1    上一点，F1、F2为椭圆左、右焦点，下列结论中：①△PF1F2面积的最大值为
    		2
    ；②若过点P、F2的直线l与椭圆的另一交点为Q，则△PF1Q的周长为8；③若过点P、F2的直线l与椭圆的另一交点为Q，则恒有
    |PF2|+|QF2|
    |PF2|•|QF2|
    =4    ；对定点A(
    		3
    2
    ，
    1
    2
    )    ，则|
    PA
    |+|
    PF2
    |    的取值范围为[4-
    		7
    ，4+
    		7
    ．其中正确结论的番号是
    ②③④
    ②③④
    ．
    分析：①△PF1F2面积S=
    1
    2
    |F1F2|•|y|，所以当|y|取最大值时，△PF1F2面积最大，此时点P为椭圆短轴端点；
    ②利用椭圆的第一定义，即可求得；
    ③分斜率存在与不存在讨论，假设直线方程代入椭圆方程，借助于韦达定理与椭圆的第二定义，化简即可；
    ④根据定点A(
    		3
    2
    ，
    1
    2
    )    在椭圆
    x2
    4
    +y2=1    的内部，点P（x，y）为椭圆
    x2
    4
    +y2=1    上一点，可得|
    PA
    |+|
    PF2
    |=|
    PA
    |+(2a-|
    PF1
    |)    =2a+(|
    PA
    |-|
    PF1
    |)    ，从而当且仅当P、A、F1三点共线时，|
    PA
    |-|
    PF1
    |    取得最小与最大，|
    PA
    |+|
    PF2
    |    取得最小与最大．
    解答：解：①△PF1F2面积S=
    1
    2
    |F1F2|•|y|=
    		3
    |y|，所以当|y|取最大值时，△PF1F2面积最大，所以点P为椭圆短轴端点时，|y|取最大值，此时y=±1，即△PF1F2面积的最大值S=
    		3
    ，故①错误；
    ②∵P，Q在椭圆上，F1、F2为椭圆左、右焦点
    ∴△PF1Q的周长为2a+2a=4a，
    ∵a=2
    ∴△PF1Q的周长为8，
    故②正确；
    ③斜率存在时，设P（x1，y1），Q（x2，y2），直线方程为：y=k（x-
    		3
    ）
    代入椭圆方程
    x2
    4
    +y2=1    得：(1+4k2)x2-8
    		3
    k2x+12k2-4=0
    ∴x1+x2=
    8
    		3
    k2
    1+4k2
    ，x1x2=
    12k2-4
    1+4k2

    根据椭圆的第二定义可得：
    |PF2|
    a2
    c
    -x1
    =
    c
    a
    ，
    |QF2|
    a2
    c
    -x2
    =
    c
    a

    ∴|PF2|=a-ex1，|QF2|=a-ex2
    ∴
    |PF2|+|QF2|
    |PF2|•|QF2|
    =
    1
    |PF2|
    +
    1
    |QF2|
    =
    1
    a-ex1
     +
    1
    a-ex2

    =
    2a-e(x1+x2)
    (a-ex1)(a-ex2)
    =
    2a-e(x1+x2)
    a2-ae(x1+x2)+e2x1x2

    ∵a=2，e(x1+x2)=
    		3
    2
    ×
    8
    		3
    k2
    1+4k2
    =
    12k2
    1+4k2
    ，ae(x1+x2)=
    24k2
    1+4k2
    ，e2x1x2=
    3
    4
    ×
    12k2-4
    1+4k2
    = 
    9k2-1
    1+4k2

    ∴
    |PF2|+|QF2|
    |PF2|•|QF2|
    =4
    当斜率不存在时，|PF2|=|QF2|=
    1
    2
    ，∴
    |PF2|+|QF2|
    |PF2|•|QF2|
    =4    ，故③正确；

    ④∵定点A(
    		3
    2
    ，
    1
    2
    )    在椭圆
    x2
    4
    +y2=1    的内部，点P（x，y）为椭圆
    x2
    4
    +y2=1    上一点，
    ∴|
    PA
    |+|
    PF2
    |=|
    PA
    |+(2a-|
    PF1
    |)    =2a+(|
    PA
    |-|
    PF1
    |)
    当且仅当P、A、F1三点共线时，|
    PA
    |-|
    PF1
    |    取得最小与最大，|
    PA
    |+|
    PF2
    |    取得最小与最大．
    ∵A(
    		3
    2
    ，
    1
    2
    )，F1(-
    		3
    ，0)
    ∴|AF1|=
    		7

    ∴|
    PA
    |+|
    PF2
    |    的取值范围为[4-
    		7
    ，4+
    		7
    ]    ，故④正确
    故答案为：②③④
    点评：本题以椭圆为载体，考查椭圆的性质，考查椭圆的两个定义，解题思维有点困难，计算要细心．
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    		2
    ；②若过点P、F2的直线l与椭圆的另一交点为Q，则△PF1Q的周长为8；③若过点P、F2的直线l与椭圆的另一交点为Q，则恒有
    |PF2|+|QF2|
    |PF2|•|QF2|
    =4    ；对定点A(
    		3
    2
    ，
    1
    2
    )    ，则|
    PA
    |+|
    PF2
    |    的取值范围为[4-
    		7
    ，4+
    		7
    ．其中正确结论的番号是______．

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