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如图所示,已知A、B、C是长轴长为4的椭圆上的三点,点A是长轴的一个端点,BC过椭圆中心O,且
AC
BC
=0
,|BC|=2|AC|.
(I)建立适当的坐标系,求椭圆方程;
(II)如果椭圆上有两点P、Q,使∠PCQ的平分线垂直于AO,证明:存在实数λ,使
PQ
AB
分析:(Ⅰ)设椭圆的标准方程,根据长轴求得a,点A是长轴的一个顶点可求得A的坐标.根据
AC
BC
=0 , |
BC
|=2|
AC
|
判断△AOC是等腰直角三角形,进而求得C的坐标代入椭圆的方程求得b,最后可得椭圆的方程.
(Ⅱ)设直线PC的方程与椭圆方程联立,消元后根据△>0判断k的范围.设点P(x1,y1)由韦达定理可求得x1和y1关于k的表达式,直线CP、CQ与x轴围成底边在x轴上的等腰三角形推断直线CP、CQ的斜率互为相反数,进而得到k的范围,同样的设点Q(x2,y2),根据韦达定理求得x2和y2关于k的表达式,根据椭圆是中心对称图形求得点B的坐标,根据
PQ
AB
关系得证.
解答:解:(I)以O为原点,OA为X轴建立直角坐标系,设A(2,0),则椭圆方程为
x2
4
+
y2
b2
=1
…2′
∵O为椭圆中心,∴由对称性知|OC|=|OB|
又∵
AC
BC
=0
,∴AC⊥BC
又∵|BC|=2|AC|∴|OC|=|AC|
∴△AOC为等腰直角三角形
∴点C的坐标为(1,1)∴点B的坐标为(-1,-1)…4
将C的坐标(1,1)代入椭圆方程得b2=
4
3

则求得椭圆方程为
x2
4
+
3y2
4
=1
…6′
(II)由于∠PCQ的平分线垂直于OA(即垂直于x轴),不妨设PC的斜率为k,则QC的斜率为-k,因此PC、QC的直线方程分别为y=k(x-1)+1,y=-k(x-1)+1
y=k(x-1)+1
x2
4
+
3y2
4
=1
得(1+3k2)x2-6k(k-1)x+3k2-6k-1=0*)…8′
∵点C(1,1)在椭圆上,
∴x=1是方程(*)的一个根,∴xP•1=
3k2-6k-1
3k2+1
即xP=
3k2-6k-1
3k2+1

同理xQ=
3k2+6k-1
3k2+1
…9′
∴直线PQ的斜率为
yP-yQ
xP-xQ
=
k(xP+xQ)-2k
xP-xQ
=
k•
2(3k2-1)
3k2+1
-2k
-12k
3k2+1
=
1
3
(定值)…11′
又∠ACB的平分线也垂直于OA
∴直线PQ与AB的斜率相等(∵kAB=
1
3

∴向量
PQ
AB
,即总存在实数λ,使
PQ
AB
成立.…12′
点评:本题以向量为载体,主要考查了椭圆的标准方程和平面向量的知识.能考查学生综合运用所学知识的能力.
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精英家教网如图所示,已知A,B,C是椭圆E:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
上的三点,其中点A的坐标为(2
3
,0),BC
过椭圆的中心O,且AC⊥BC,|BC|=2|AC|.
(Ⅰ)求点C的坐标及椭圆E的方程;
(Ⅱ)若椭圆E上存在两点P,Q,使得∠PCQ的平分线总是垂直于x轴,试判断向量
PQ
AB
是否共线,并给出证明.

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+
y2
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=1(a>b>0)上的三点,,BC过椭圆的中心O,且AC⊥BC,|BC|=2|AC|.则椭圆的离心率为
 

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6
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