Question

设a、b为常数，M={f（x）|f（x）=acosx+bsinx，x∈R}；F：把平面上任意一点（a，b）映射为函数acosx+bsinx．
（1）证明：对F不存在两个不同点对应于同一个函数；
（2）证明：当f₀（x）∈M时，f₁（x）=f₀（x+t）∈M，这里t为常数；
（3）对于属于M的一个固定值f₀（x），得M₁={f₀（x+t）|t∈R}，若映射F的作用下点（m，n）的象属于M₁，问：由所有符合条件的点（m，n）构成的图形是什么？

Answer 1

分析：（1）假设有两个不同的点（a，b），（c，d）对应同一函数，即acosx+bsinx=ccosx+dsinx对一切实数x均成立．特别令x=0，得a=c；令x=

π

2

，得b=d．这与（a，b），（c，d）是两个不同点矛盾，故不存在两个不同点对应同函数．
（2）当f₀（x）∈M时，可得常数aa₀，b₀，使f₀（x）=a₀cosx+b₀sinx，f₁（x）=f₀（x+t）=a₀cos（x+t）+b₀sin（x+t）=（a₀cost+b₀sint）+（b₀cost-a₀sint）sinx．由此能够证明f₁（x）=f₀（x+t）∈M．
（3）设f₀（x）∈M，由此得f₀（x+t）=mcosx+nsinx，在映射F下，f₀（x+t）的原象是（m，n），则M₁的原象是{（m，n）|m=a₀cost+b₀sint，n=b₀cost-a₀sint，t∈R}，消去t得m²+n²=a₀²+b₀²，由此能得到有符合条件的点（m，n）构成的图形是圆．

解答：解：（1）证明：假设有两个不同的点（a，b），（c，d）对应同一函数，
即F（a，b）=acosx+bsinx与F（c，d）=ccosx+dsinx相同，
即acosx+bsinx=ccosx+dsinx对一切实数x均成立．
特别令x=0，得a=c；
令x=

π

2

，得b=d．
这与（a，b），（c，d）是两个不同点矛盾，
假设不成立．
故不存在两个不同点对应同函数．
（2）当f₀（x）∈M时，
可得常数aa₀，b₀，使f₀（x）=a₀cosx+b₀sinx，
f₁（x）=f₀（x+t）=a₀cos（x+t）+b₀sin（x+t）
=（a₀cost+b₀sint）+（b₀cost-a₀sint）sinx．
由于a₀，b₀，t为常数，
设a₀cost+b₀sint=m，b₀cost-a₀sint=n，
则m，n是常数．
从而f₁（x）=f₀（x+t）∈M．
（3）设f₀（x）∈M，
由此得f₀（x+t）=mcosx+nsinx，
（其中m=a₀cost+b₀sint，n=b₀cost-a₀sint）
在映射F下，f₀（x+t）的原象是（m，n），
则M₁的原象是
{（m，n）|m=a₀cost+b₀sint，n=b₀cost-a₀sint，t∈R}，
消去t得m²+n²=a₀²+b₀²，
即在映射F下，M₁的原象{（m，n）|m²+n²=a₀²+b₀²}是以原点为圆心，

a02+b02

为半径的圆．

点评：本题考查映射的概念，难度较大．解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．