Question

已知函数f(x)=

1

2

x2-alnx的图象在点P（2，f（2））处的切线方程为l：y=x+b
（1）求出函数y=f（x）的表达式和切线l的方程；
（2）当x∈[

1

e

，e]时（其中e=2.71828…），不等式f（x）＜k恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析：（I）对函数求导，求出当自变量等于2时的函数值，求出函数在这一点的切线的斜率，根据点斜式写出切线的方．
（II）根据上一问做出的函数的解析式，对函数求导．使得导数等于0，做出函数的随x的变化，f（x），f^′（x）的变化情况，看出函数的最值，得到要求的结果

解答：解：（I）∵f′(x)=x-

a

x

∴f′(2)=2-

a

2

=1，a=2，
∴f(x)=

1

2

x2-2lnx，f（2）=2-2ln2
∵点P（2，f（2））在y=x+b上，
∴b=2，
l：y=x-2ln2
（II）由（I）知f(x)=

1

2

x2-2lnx，
f′(x)=x-

2

x

=

(x- 2 )(x+ 2 )

x

，
当f^′（x）=0时，x=

2

∴随x的变化，f（x），f^′（x）的变化如下：

由表可知当x∈[

1

e

，e]时，函数的最大值为2+

1

2e2

∴k＞2+

1

2e2

点评：本题考查导数的应用，是一个基础题，本题解题的关键是能够正确写出函数的导函数，根据导函数分析函数的单调性和求出最值．