Question

已知函数f（x）是定义在R上的单调函数满足f（-3）=2，，且对任意的实数a∈R有f（-a）+f（a）=0恒成立．
（Ⅰ）试判断f（x）在R上的单调性，并说明理由；
（Ⅱ）解关于x的不等式f(

2-x

x

)＜2．

Answer 1

分析：（I）根据函数奇偶性的定义，不难得到f（x）是定义在R上的奇函数，再根据已知条件函数是单调函数且f（-3）＞f（0），可得函数是R上的减函数．
（II）原不等式可化为：f(

2-x

x

)＜f(-3)，再由（I）的单调性可得

2-x

x

＞-3，最后根据分式不等式的解法即可得到原不等式的解集．

解答：解：（Ⅰ）结论：f（x）是R上的减函数．理由如下
∵对任意的实数a∈R有f（-a）+f（a）=0
∴f（-a）=-f（a）对任意的实数a∈R成立，可得函数f（x）是定义在R上的奇函数，
取x=0，得f（0）=0
∵f（x）在R上是单调函数，f（-3）=2＞0=f（0）
∴f（x）为R上的减函数．
（Ⅱ）由f（-3）=2，不等式f(

2-x

x

)＜2等价于f(

2-x

x

)＜f(-3)
又∵f（x）为R上的减函数，∴原不等式可化为：

2-x

x

＞-3
整理得：

2x+2

x

＞0，解之得：x＜-1或x＞0
∴不等式f(

2-x

x

)＜2的解集为（-∞，-1）∪（0，+∞）．

点评：本题给出抽象函数为奇函数且在E上为减函数，求关于x的不等式的解集，着重考查了函数单调性的奇偶性等知识，属于基础题．