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已知函数y=2x3-3x2-12x+8.
(Ⅰ)求函数在x=1处的切线方程;
(Ⅱ)求函数在区间[-2,3]上的最大值和最小值.
分析:(I)利用切线的斜率是函数在切点处导数,求出切线斜率,再利用直线方程的点斜式求出切线方程.
(II)先求导函数,确定函数在闭区间[-2,3]上的极值点及端点的值,进而计算极值点及端点的函数值可确定函数的最值.
解答:解:(Ⅰ)将x=1代入函数解析式得y=-5---------------------------------(2分)
y'=6x2-6x-12,所以y'|x=1=-12----------------------------------(4分)
由直线方程的点斜式得y+5=-12(x-1)
所以函数在x=1处的切线方程为12x+y-7=0----------------------------------(6分)
(Ⅱ)y'=6x2-6x-12=6(x-2)(x+1)=0,
解得x=2或x=-1------------------------(8分)
由于f(-2)=4,f(-1)=15,f(2)=-12,f(3)=-1-------------------------------(10分)
∴ymax=15,ymin=-12------------------------------(12分)
点评:本题以函数为载体,考查函数导数的几何意义、利用导数求闭区间上函数的最值,解题的关键是利用导数工具.属于导数的基础题.
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