Question

已知定义域为R的函数f(x)=

b- 2 x

2 x+1   +a

是奇函数
（1）a+b=

3

；
（2）若函数g(x)=f(

2x+1

)+f(k-x)有两个零点，则k的取值范围是

（-1，-

1

2

）

．

Answer 1

分析：（1）由题意可得 f（0）=0，且 f（-1）=-f（1），由此求得a和b的值，即可求得a+b的值．
（2）由题意可得 f(

2x+1

) = f(x-k) 有两个解，即函数y=

2x+1

与函数 y=x-k有两个交点，数形结合求得k的取值范围．

解答：解：（1）∵定义域为R的函数f(x)=

b- 2 x

2 x+1   +a

 时奇函数，
∴f（0）=0，且 f（-1）=-f（1），
即 b=2°=1，

b- 1 2

1+a

=-

b-2

4+a

，解得 a=2，b=1，故a+b=3．
故答案为 3．
（2）函数g(x)=f(

2x+1

)+f(k-x)有两个零点，即f(

2x+1

) = -f(k-x) 有两个解．
再由f（x）是奇函数，可得 f(

2x+1

) = f(x-k) 有两个解，
故方程

2x+1

=（x-k）有两个解，即函数y=

2x+1

与函数 y=x-k有两个交点．
如图所示：当直线 y=x-k过点A（-

1

2

，0）时，y=

2x+1

的图象与 y=x-k的图象有两个交点，此时k=-

1

2

．
当y=

2x+1

与 y=x-k相切时，对于函数y=

2x+1

，令其导数为y′=

1

2x+1

=1，可得 x=0，此时，y=x-k与y=

2x+1

相切于点B（0，1），
把点B（0，1）代入 y=x-k可得 k=-1．
结合图象可得，当-1＜k≤-

1

2

时，函数y=

2x+1

的图象与函数 y=x-k的图象有两个交点，
故k的取值范围是（-1，-

1

2

]．
故答案为 （-1，-

1

2

]．

点评：本题主要考查了奇函数的性质，函数的零点与方程的根的关系，体现了转化、数形结合的数学思想，属于基础题．