Question

成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列{b_n}中的b₃、b₄、b₅．
（Ⅰ）求数列{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）数列{b_n}的前n项和为S_n，求证：数列{S_n+

5

4

}是等比数列．

Answer 1

分析：（I）利用成等差数列的三个正数的和等于15可设三个数分别为5-d，5+d，代入等比数列中可求d，进一步可求数列{b_n}的通项公式
（II）根据（I）及等比数列的前 n项和公式可求S_n，要证数列{S_n+

5

4

}是等比数列?

Sn+1+ 5 4

Sn+ 5 4

=q≠0即可．

解答：解：（I）设成等差数列的三个正数分别为a-d，a，a+d
依题意，得a-d+a+a+d=15，解得a=5
所以{b_n}中的依次为7-d，10，18+d
依题意，有（7-d）（18+d）=100，解得d=2或d=-13（舍去）
故{b_n}的第3项为5，公比为2
由b₃=b₁•2²，即5=4b₁，解得b1=

5

4

所以{b_n}是以

5

4

首项，2为公比的等比数列，通项公式为bn=

5

4

•2n-1
（II）数列{b_n}的前和Sn=

5 4 (1-2n)

1- 2

=

5

4

•2n-

5

4

即Sn+

5

4

=

5•2n

4

，所以S1+

5

4

=

5

2

，

Sn+1+ 5 4

Sn+ 5 4

=

5•2n-1

5•2n-2

=2
因此{Sn+

5

4

}是以

5

2

为首项，公比为2的等比数列

点评：本题主要考查了等差数列、等比数列及前n和公式等基础知识，同时考查基本运算能力