Question

（本题满分14分）如图，在正方体ABCD－A₁B₁C₁D₁中，E、F为棱AD、AB的中点．

（1）求证：EF∥平面CB₁D₁；

（2）求证：平面CAA₁C₁⊥平面CB₁D₁．

 

Answer 1

【答案】

（1）连结BD.在长方体中，对角线.又 E、F为棱AD、AB的中点， . . 又B₁D₁平面，平面， EF∥平面CB₁D₁.（2）因为 在长方体中，AA₁⊥平面A₁B₁C₁D₁，而B₁D₁平面A₁B₁C₁D₁， AA₁⊥B₁D₁.又因为在正方形A₁B₁C₁D₁中，A₁C₁⊥B₁D₁， B₁D₁⊥平面CAA₁C₁.   又因为B₁D₁平面CB₁D₁，平面CAA₁C₁⊥平面CB₁D₁

【解析】

试题分析：（1）证明:连结BD.在长方体中，对角线.

又 E、F为棱AD、AB的中点， .

. 又B₁D₁平面，平面， EF∥平面CB₁D₁.

（2）因为 在长方体中，AA₁⊥平面A₁B₁C₁D₁，而B₁D₁平面A₁B₁C₁D₁， AA₁⊥B₁D₁.又因为在正方形A₁B₁C₁D₁中，A₁C₁⊥B₁D₁，

 B₁D₁⊥平面CAA₁C₁.   又因为B₁D₁平面CB₁D₁，平面CAA₁C₁⊥平面CB₁D₁

考点：本题考查了空间中的线面关系

点评：证明立体几何问题常常利用几何方法，通过证明或找到线面之间的关系，依据判定定理或性质进行证明求解