Question

设点P（x，y）（x≥0）为平面直角坐标系xOy中的一个动点（其中O为坐标原点），点P到定点M（

1

2

，0）的距离比点P到x轴的距离大

1

2

．
（1）求点P的轨迹方程，并说明它表示什么曲线；
（2）若直线l与点P的轨迹相交于A、B两点，且

OA

•

OB

=0，点O到直线l的距离为

2

，求直线l的方程．

Answer 1

分析：（1）用直接法或定义法求得点P轨迹方程为y²=2x，表示以原点为顶点，对称轴为x轴，开口向右的一条抛物线．
（2）当直线l的斜率不存在时，由题设可知直线l的方程是x=

2

，联立x=

2

与y²=2x可求得A（

2

，

4	8

），B（

2

，-

4	8

），不符合

OA

•

OB

=0．当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+b（k≠0，b≠0），联立y=kx+b与y²=2x，化简得ky²-2y+2b=0，由此能够求出直线l的方程．

解答：解：（1）由定义法，知点P轨迹方程为y²=2x，
表示以原点为顶点，对称轴为x轴，开口向右的一条抛物线．（6分）
（2）当直线l的斜率不存在时，
由题设可知直线l的方程是x=

2

，
联立x=

2

与y²=2x可求得A（

2

，

4	8

），B（

2

，-

4	8

），
不符合

OA

•

OB

=0  （7分）
当直线l的斜率存在时，
设直线l的方程为y=kx+b（k≠0，b≠0），
联立y=kx+b与y²=2x，
化简得ky²-2y+2b=0  （9分）
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则y₁y₂=

2b

k

OA

•

OB

=0?x₁x₂+y₁y₂=0?

y12

2

•

y22

2

+y₁y₂=0?y₁y₂+4=0?

2b

k

+4=0?b+2k=0  ①（11分）
又O到直线l距离为

2

得

|b|

k2+1

=

2

②（12分）
联立①②解得k=1，b=-2或k=-1，b=2，所以直线l的方程为y=x-2或y=-x+2（13分）

点评：本题考查抛物线的方程的求法和直线方程的求法，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．